マクスウェル方程式と光

寒くなってきて街中がライトアップされてきたので、光速が電気と磁気の方程式から出てくる様子を見てみたいと思います。
軽めの記事なので読んでいただけると幸いです。

マクスウェル方程式は以下のように書けることを思い出してください。

$$\begin{align*} \nabla \cdot \bm{B} &= 0 \\ \nabla \times \bm{E} &= - \dfrac{\partial \bm{B}}{\partial {t}} \\ \nabla \cdot \bm{D} &= \rho\\ \nabla \times \bm{H} &= \bm{j} + \dfrac{\partial \bm{D}}{\partial t} \end{align*}$$

今回真空中を考えるので、以下のようになります。

$$\begin{align} \nabla \cdot \bm{B} &= 0 \\ \nabla \times \bm{E} &= - \dfrac{\partial \bm{B}}{\partial {t}} \\ \nabla \cdot \bm{E} &= 0\\ \nabla \times \bm{B} &= \mu_0 \varepsilon_0 \dfrac{\partial \bm{E}}{\partial t} \end{align}$$

この形はとても綺麗で勉強すればするほどに魅力を増していきますが、その魅力はまた別の機会に語るとして、今回は電磁波を導出することに専念します。

(2)式について、両辺さらに時間$t$で偏微分することにより、

$$\begin{align} \nabla \times \frac{\partial \bm{E}}{\partial t} = - \dfrac{\partial^2 \bm{B}}{\partial t^2} \end{align}$$

となります。ここで、空間微分と時間微分が変更されていることに疑問を抱く または、寒気がしてくる、苛立ちを覚える、目眩を感じる人がいると思います。 が、すみません、僕は物理学科です。 $C^2$級関数を考えれば何も問題ないです。

(5)式より、

$$\dfrac{\partial \bm{E}}{\partial t} = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} (\nabla \times \bm{B})$$

なので、(5)式に代入して

$$\begin{align} \nabla \times (\nabla \times \bm{B}) = - \mu_0 \varepsilon_0 \dfrac{\partial^2 \bm{B}}{\partial t^2} \end{align}$$

となります。ここで、以下のベクトル公式を思い出してください。

$$\nabla \times (\nabla \times \bm{A}) = \nabla(\nabla \cdot \bm{A}) - \nabla^2 \bm{A}$$

これより、(6)式は

$$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \bm{B}) - \nabla^2 \bm{B} = - \mu_0 \varepsilon_0 \dfrac{\partial^2 \bm{B}}{\partial t^2} \end{align*}$$

ここで、左辺の第1項目は(1)式より0となるので、最終的に以下の式が出てきます。

$$\begin{align} \nabla^2 \bm{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \dfrac{\partial^2 \bm{B}}{\partial t^2} \end{align}$$

電場も同様にして、

$$\begin{align} \nabla^2 \bm{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \dfrac{\partial^2 \bm{E}}{\partial t^2} \end{align}$$

となります。
ここで、速度$v$で進む波$\psi$の従う波動方程式は以下で表されます。

$$\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} = \nabla^2 \psi$$

つまり、電場も磁場も速度$1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$の波に従うことがわかります。

ここで、Wikipediaで値を調べて計算してみましょう。
真空中の誘電率と透磁率は以下の値です。

$$\varepsilon_0 = 8.8541878188 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\\ \mu_0 = 1.2566370612 \times 10^{-6} \, \text{N} \cdot \text{A}^{-2}$$

この値を入れて計算すると、

$$\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = 2.997924580 \times 10^8$$

となり、光の速度と一致します。歴史的には、この時点では光の速度と一致するだけで確証を得られていませんが、ドイツの物理学者、ハイリンヒ・ルドルフ・ヘルツ(Heinrich Rudolf Hertz 1857-1894)の1887年の実験により裏付けがされ、光は電磁波の一種であることがわかりました。この頃日本は明治20年です。

光は身近なものなのに電磁波の一種と分かってから、150年も経っていません。なんかちょっと意外ですね

参考サイト
https://ja.wikipedia.org/wiki/波動方程式
https://ja.wikipedia.org/wiki/電気定数
https://ja.wikipedia.org/wiki/磁気定数
https://ja.wikipedia.org/wiki/ハインリヒ・ヘルツ