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ワシントン大学Steve Brunton先生の確率・統計講座ー第1回ー講座概観
こんにちは、あるいはこんばんは。
今回は、ワシントン大学のSteve Brunton先生による確率・統計講座の初回概要をご紹介します。
確率と統計の重要性
本記事では、確率と統計の基礎的な概観を説明します。この分野の考え方は、以下の分野で欠かせない基盤となります：
- 科学・工学分野
- ビジネス分析
- 機械学習
- データサイエンス
確率と統計の目的と扱う問題を把握することで、今後より高度なトピックへのスムーズな理解と応用が可能になります。
確率(Probability)と統計(Statistics)の違い
確率 (Probability)
- 仮定: 確率分布（モデル）は既知。
- 目的: 「この分布からどのようなサンプル（観測値）が得られるか」を予測。
- 例: サイコロの目は1～6が等確率、正規分布に従うデータが観測される。
統計 (Statistics)
- 仮定: 観測データ（サンプル）はあるが、確率分布（モデル）は未知。
- 目的: データから未知分布の特性を推定、または仮説を検定。
- 例: 観測データから母集団平均や分散を推定、仮説検定。
確率論で扱う主なトピック
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確率の基礎概念
サンプル空間、事象、確率測度、頻度解釈、ベイズ的解釈など。 -
確率変数と分布
ベルヌーイ分布、二項分布、正規分布、ポアソン分布など。 -
期待値・分散などの指標
平均、分散、標準偏差、中央値などの統計量を理解。
統計学で扱う主なトピック
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データからの推定
- 未知分布のパラメータを推定（例：平均、分散）。
- 最大尤度推定（MLE）などの手法。
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仮説検定と推測統計
- 観測データを基に仮説（帰無仮説）の妥当性を検証。
- サンプルサイズや分布を考慮した統計的検定。
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サンプリング
- 母集団全体の観察が不可能な場合、標本を用いて母集団特性を推定。
- サンプルサイズと抽出方法が精度やバイアスに影響。
中心極限定理 (Central Limit Theorem, CLT)
要点
- 独立同分布 (i.i.d.) な確率変数からの大きなサンプルサイズの平均は、元の分布に依らず正規分布に近似される。
応用例
- ガス分子の運動や温度特性
- 乱流現象の統計モデル
- 測定誤差 (ガウシアンノイズ)
- カルマンフィルタによる状態推定
- 天候予測やカオス系の確率モデル
- 行動経済学や社会科学での人間行動モデル
まとめ
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確率と統計の違い
確率は「既知のモデルで結果を予測」、統計は「観測データからモデルを推定」。 -
今後の展開
ベイズ統計や機械学習への応用を視野に、これらの基礎概念を押さえることが重要です。
次回以降、さらに具体的なトピックや手法を掘り下げていきます。実践的なデータ解析やモデル構築に役立つ基礎力を身につけていきましょう！
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