ワシントン大学Steve Brunton先生の確率・統計講座ー第2回ー確率の導入

こんにちは、あるいはこんばんは。
今回は、Steve Brunton先生による確率・統計講座の第2回の内容をまとめました。

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確率とは？

確率とは、「ある事象がどの程度起こりやすいか」を数値で表したものです。学び始めの題材としてよく使われるのが、コイン投げやサイコロ投げ。これらはシンプルなルールと有限の結果集合を持ち、直感的に理解しやすいからです。

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基本概念：標本空間と事象

1. 標本空間 (Sample Space)

• 定義: 起こりうるすべての結果を列挙した集合。
• 例: コインを2回投げる場合の標本空間
  [
  S = {HH, HT, TH, TT}
  ]
  （H: 表、T: 裏）

2. 事象 (Event)

• 定義: 標本空間の部分集合で、特定の結果群を指す。
• 例: 「少なくとも1回は表が出る」事象
  [
  A = {HH, HT, TH}
  ]

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確率の基本式

確率の計算は以下の公式で求められます。

[
P(A) = \frac{\text{事象Aが起こる方法の数}}{\text{標本空間の総数}}
]

コインの例

• 事象A: 少なくとも1回表が出る
  [
  A = {HH, HT, TH}
  ]
• 標本空間:
  [
  S = {HH, HT, TH, TT}
  ]
• 確率:
  [
  P(A) = \frac{3}{4} = 0.75
  ]
  「少なくとも1回表が出る確率は75%」

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サイコロの例で理解を深める

例題

「2つのサイコロを振り、少なくとも1つが5である確率を求める」

1. 標本空間:
   サイコロ2個の場合、結果の組み合わせは36通り (6 × 6)。

2. 事象A:

   • 1つ目が5:
     [
     (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) \quad \text{（6通り）}
     ]
   • 2つ目が5:
     [
     (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5) \quad \text{（6通り）}
     ]
   • 重複を除く:
     [
     6 + 6 - 1 = 11 \text{通り}
     ]

3. 確率:
   [
   P(A) = \frac{11}{36} \approx 0.306 \quad \text{（約30.6%）}
   ]

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一般化への道

確率計算の発展

1. 条件付き確率:
   特定の条件下での事象の起こりやすさを計算し、イベント間の依存関係を解析。
2. 確率分布:
   サイコロやコイン以外の連続量も扱い、複雑な現象をモデル化するために確率密度関数や累積分布関数を使用。

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まとめ

• 基礎の重要性:
  確率論の出発点は「事象が何種類あり、そのうち目的の事象が何通りあるか？」という単純な考え方です。
• 直感の養成:
  コインやサイコロを使うことで、確率計算の基礎を理解しやすくなります。
• 応用への展開:
  この基礎を踏まえれば、データサイエンスや機械学習など複雑な統計的手法へと知識を拡張可能です。

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これらの基本概念を理解することで、確率の世界を一歩ずつ進んでいきましょう！