QTTの歴史
Qauntics tensor trainとは、スケール分離を利用した関数の圧縮技術である。圧縮だけでなく、演算子を実行できることができる。その歴史についてざっくりまとめてみた。
画像の圧縮
詳細まで読むと面白いかも
QTT 誕生
応用数学の分野から
まずは、行列にQTTを適用された。
I. V. Oseledets, Doklady Math. 80, 653 (2009).
続いて、関数に特異値分解をして低ランク構造があることを示した。
B. N. Khoromskij, Constr. Approx. 34, 257 (2011)
さまざまな行列にQTTが応用された
V. A. Kazeev et al., SIAM Journal on Sci. Comput. 35, 3 (2013)
Tensor Cross Interpolation (TCI)
同時期に、2011年くらいにTCIが誕生した。
参考論文
[1] TT-cross approximation for multidimensional arrays
[2] Quasioptimality of maximum-volume cross interpolation of tensors
利用可能なソフトウェア
[3]https://github.com/oseledets/TT-Toolbox/blob/master/cross/greedy2_cross.m
他のテンソルネットワークへの応用
Black box approximation of tensors in hierarchical Tucker format
2014年
Adaptive hierarchical subtensor partitioning for tensor compression
2019
Hierarchical Tensor Approximation of Output Quantities of Parameter-Dependent PDEs
2014
A TT-Based Hierarchical Framework for Decomposing High-Order Tensors
2020
Quantics-CP分解
Quantized-CP Approximation and Sparse Tensor Interpolation of Function Generated Data
2017年
微分方程式への応用
2012
QTTを微分方程式（フォッカープランク方程式に応用した）
Fast solution of multi-dimensional parabolic problems in the TT/QTT-format with initial application to the Fokker-Planck equation
2014 QTTを微分方程式（生化学に応用した？）
Direct Solution of the Chemical Master Equation Using Quantized Tensor Trains
2021 QTTでの演算例を多く紹介している＊計算量とか参考になりそう。
Quantum-inspired algorithms for multivariate analysis: from interpolation to partial differential equations
2022 流体計算に応用
これでQTTが一気に広まった感じらしい。
[A quantum-inspired approach to exploit turbulence structures]
2022 ポアソン方程式？に応用
A quantum-inspired method for solving the Vlasov-Poisson equations
量子フーリエ変換の圧縮
物理の人は、フーリエ変換からQTTの着想を得た人が多い印象
Quantum Fourier Transform Has Small Entanglement
離散フーリへ変換と量子フーリへ変換の等価性についてのスライド/codeはこちら
量子物理へ応用
2010
DMRG+QTT approach to computation of the ground state for the molecular Schro ̈dingeroperator
2023 QTTを量子物理の場の量子論の相関関数の圧縮に応用した。
Multi-scale space-time ansatz for correlation functions of quantum systems
2023 TCIを量子物理に応用
[Learning Feynman Diagrams with Tensor Trains](Y. N. Fernández et al., Phys. Rev. X 12, 041018 (2022).)
2024 QTT + TCI
[Quantics Tensor Cross Interpolation for High-Resolution Parsimonious Representations of Multivariate Functions](M. K. Ritter et al., Phys. Rev. Lett. 132, 056501 (2024).)
機械学習との組み合わせ？
QTTと組み合わせたら面白そうだけどなぁ。
Tensor Network States with Low-Rank Tensors
2022年
Machine learning with tree tensor networks, CP rank constraints, and tensor dropout
2023年
Discussion