テンソルネットワークと量子計算の関係についてのメモ
量子状態
1量子ビットの基底状態|0\rangleと|1\rangleは次のように定義されます。
|0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad |1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
これらは、\langle m \mid n\rangle=\delta_{m, n}と\sum_{m=0,1}|m\rangle\langle m|=\hat{I}の関係を満たします。
2量子ビット状態|\psi\rangleは、1量子ビット状態のテンソル積として次のように展開できます。
|\psi\rangle = \sum_{m=0,1} \sum_{n=0,1} \alpha_{m, n}|m\rangle \otimes |n\rangle
ここで、規格化条件は次のように与えられます。
\sum_{m=0,1} \sum_{n=0,1}|\alpha_{m, n}|^2 = 1
１量子ビットゲート
1量子ビット|j\rangle(j=0,1)とするとユニタリ変換によって以下のように変換する。
|j\rangle \rightarrow \sum_{k=0}^{1}U_{k j}|k\rangle
具体的に
|0\rangle \rightarrow \sum_{k=0}^{1}U_{k 0}|k\rangle = U_{0 0}|0\rangle+U_{1 0}|1\rangle
|1\rangle \rightarrow \sum_{k=0}^{1}U_{k 1}|k\rangle = U_{0 1}|0\rangle+U_{1 1}|1\rangle
例えば、Xゲートの時は、
X = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
|0\rangle \rightarrow \sum_{k=0}^{1}U_{k 0}|k\rangle = U_{0 0}|0\rangle+U_{1 0}|1\rangle= 0|0\rangle+1|1\rangle=|1\rangle
|1\rangle \rightarrow \sum_{k=0}^{1}U_{k 1}|k\rangle = U_{0 1}|0\rangle+U_{1 1}|1\rangle=1|0\rangle+0|1\rangle=|0\rangle
2量子ビットゲート
|j_1j_2\rangle \rightarrow \sum_{k_1,k_{2}=0}^{1}U_{k_{1}k_{2} j_{1}j_{2}}|k_{1}k_{2}\rangle
具体的に
|00\rangle \rightarrow \sum_{k_1,k_{2}=0}^{1}U_{k_{1}k_{2} 00}|k_{1}k_{2}\rangle=U_{00 00}|00\rangle+U_{10 00}|10\rangle+U_{0100}|01\rangle+U_{11 00}|11\rangle
|10\rangle \rightarrow \sum_{k_1,k_{2}=0}^{1}U_{k_{1}k_{2} 10}|k_{1}k_{2}\rangle=U_{00 10}|00\rangle+U_{10 10}|10\rangle+U_{0110}|01\rangle+U_{11 10}|11\rangle
|01\rangle \rightarrow \sum_{k_1,k_{2}=0}^{1}U_{k_{1}k_{2} 01}|k_{1}k_{2}\rangle=U_{00 01}|00\rangle+U_{10 01}|10\rangle+U_{0101}|01\rangle+U_{11 01}|11\rangle
|11\rangle \rightarrow \sum_{k_1,k_{2}=0}^{1}U_{k_{1}k_{2} 11}|k_{1}k_{2}\rangle=U_{00 11}|00\rangle+U_{10 11}|10\rangle+U_{0111}|01\rangle+U_{11 11}|11\rangle
例えば、CNOTゲートの時は、
\text { CNOT }=\left(\begin{array}{cc}
I & O \\
O & X
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)
同様に計算できる。
結論
量子計算もテンソルの縮約の計算だとみなすことができた。
Discussion