恒久的マーケットインパクトの関数形

マーケットインパクトを考えるときに、恒久的マーケットインパクト(permanent market impact)と一時的マーケットインパクト(temporary market impact)がある。
自分の注文で板を食ったときに仲値が変化するが、その直後に食われた板を埋めるように注文が入る。ざっくりとしたイメージとしてはすぐに埋まる分が一時的マーケットインパクトで、埋まらない分が恒久的マーケットインパクトである。
この記事では、The Financial Mathematics of Market Liquidityに基づいて恒久的マーケットインパクトの関数形について考える。

まず、在庫$q_t$、資産価格$S_t$、現金$X_t$の過程を

$$\begin{align} d q_t & =v_t d t \\ d S_t & =\sigma d W_t+\kappa\left(v_t\right) d t \\ d X_t & =-v_t S_t d t \end{align}$$

で定義する。ここで$v_t$は時刻$t$におけるトレーダーの取引量、$\sigma>0$はボラティリティ、$W_t$は標準Brown運動である。また、$\kappa(v_t)$は恒久的マーケットインパクトの関数である。ここで、ある$t_1<t_2$に対して、

$$\begin{align} & \int_{t_1}^{t_2}\left|v_t\right|d t \in L^{\infty}(\Omega), \\ & \int_{t_1}^{t_2} v_t d t=0 \\ & \mathbb{E}\left[X_{t_2} \mid \mathcal{F}_{t_1}\right]>X_{t_1} . \end{align}$$

となるような戦略$\{v_t\}_{t\in[t_1,t_2]}$を動的アービトラージと呼ぶ。ざっくりいうと、有限の取引量で、取引量は全部合わせると$0$になり、それでいて期待値が$0$より大きいような取引戦略である。$\kappa(x)$の関数形によっては動的アービトラージが存在することを示す。確率制御等で恒久的マーケットインパクトを考えるなら、動的アービトラージが存在しないような$\kappa(x)$を仮定するほうが自然である。
ただし、ここでは一時的マーケットインパクトや、取引コストを考慮していない。

まず、$\alpha, \beta$を同じ符号の実数とする。$\tau(\alpha, \beta)=\frac{\alpha t_1+\beta t_2}{\alpha+\beta}$として、

$$v_t= \begin{cases}\alpha & \text { if } t \in\left[t_1, \tau(\alpha, \beta)\right] \\ -\beta & \text { if } t \in\left[\tau(\alpha, \beta), t_2\right]\end{cases}$$

という戦略を考察する。要は単位時間あたりの取引量が$\alpha$のTWAPで買って、$\beta$のTWAPで売るという戦略である。
この戦略を用いると

$$X_{t_2}=X_{t_1}-\int_{t_1}^{t_2} v_t S_t d t=X_{t_1}+\int_{t_1}^{t_2}\left(q_t-q_{t_1}\right) \sigma d W_t+\int_{t_1}^{t_2}\left(q_t-q_{t_1}\right) \kappa\left(v_t\right) d t .$$

となるが、これを用いて期待値を計算すると

$$\begin{align} \mathbb{E}\left[X_{t_2} \mid \mathcal{F}_{t_1}\right]= & X_{t_1}+\int_{t_1}^{t_2}\left(q_t-q_{t_1}\right) \kappa\left(v_t\right) d t \nonumber\\ = & X_{t_1}+\int_{t_1}^{\tau(a, b)}\left(q_t-q_{t_1}\right) \kappa\left(v_t\right) d t+\int_{\tau(a, b)}^{t_2}\left(q_t-q_{t_2}\right) \kappa\left(v_t\right) d t \nonumber\\ = & X_{t_1}+\int_{t_1}^{\tau(a, b)} \alpha\left(t-t_1\right) \kappa(\alpha) d t+\int_{\tau(a, b)}^{t_2} \beta\left(t_2-t\right) \kappa(-\beta) d t \nonumber\\ = & X_{t_1}+\frac{1}{2} \alpha\left(\frac{\beta}{\alpha+\beta}\right)^2\left(t_2-t_1\right)^2 \kappa(\alpha) \nonumber\\ & +\frac{1}{2} \beta\left(\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\right)^2\left(t_2-t_1\right)^2 \kappa(-\beta) \nonumber\\ = & X_{t_1}+\frac{1}{2} \frac{\alpha \beta}{(\alpha+\beta)^2}\left(t_2-t_1\right)^2(\beta \kappa(\alpha)+\alpha \kappa(-\beta)) . \end{align}$$

さて、動的アービトラージが存在しないとするならば、任意の同符号の$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$に対して、$\mathbb{E}\left[X_{t_2} \mid \mathcal{F}_{t_1}\right]\leq X_1$でなければならない。
このとき、

$$\alpha \beta>0 \Rightarrow \beta \kappa(\alpha)+\alpha \kappa(-\beta) \leq 0$$

また、$\alpha$と$-\beta$、$\beta$と$-\alpha$を入れ替えて

$$\alpha \beta>0 \Rightarrow \alpha \kappa(-\beta)+\beta \kappa(\alpha) \geq 0$$

これらを合わせると

$$\alpha \beta>0 \Rightarrow \beta \kappa(\alpha) = -\alpha \kappa(-\beta)$$

このとき、$\alpha=\beta$とすると$\alpha\neq0$に対して$\kappa(\cdot)$が奇関数であることがわかる。
特に$\alpha\neq0, \beta=\text{sign}(\alpha)$の場合には

$$\kappa(\alpha)=-\alpha \text{sign}(\alpha)\kappa(-\text{sign}(\alpha))=\alpha\kappa(1)$$

つまり、$\kappa(x)$は$x\neq0$において線形になっている。
ここで、$\kappa(0)=0$を示す。そのために別の戦略を考える。$t_1<t_2$に対して、

$$v_t = \begin{cases} \kappa(0) & \text{if } t\in[t_1, t_1 + \frac{\tau}{3}] \\ 0 & \text{if } t\in[t_1 + \frac{\tau}{3}, t_1 + \frac{2\tau}{3}] \\ -\kappa(0) & \text{if } t\in[t_1 + \frac{2\tau}{3}, t_2] \end{cases}$$

ここで、$\tau=t_2-t_1$である。
このとき、

$$\begin{align} \mathbb{E}\left[X_{t_2}\middle|\mathcal{F}_{t_1}\right] &= X_{t_1} + \int_{t_1}^{t_2}(q_t-q_{t_1})\kappa(v_t)dt \nonumber\\ &=X_{t_1} + \int_{t_1}^{t_1+\tau/3}\kappa(0)(t-t_1)\kappa(\kappa(0))dt \nonumber\\ &\qquad + \int_{t_1+\tau/3}^{t_1+2\tau/3}\frac{\tau}{3}\kappa^2(0)dt + \int_{t_1+2\tau/3}^{t_2}\kappa(0)(t_2-t)\kappa(-\kappa(0))dt \nonumber\\ &=X_{t_1} + \kappa^2(0)\frac{\tau^2}{9} \end{align}$$

再び、$\mathbb{E}\left[X_{t_2} \mid \mathcal{F}_{t_1}\right]\leq X_1$でなければならないことを思い出すと、$\kappa(0)=0$であることがわかる。

逆に$\kappa(x)=\alpha x$とすると、

$$\begin{align} & \int_{t_1}^{t_2}\left|v_t\right|d t \in L^{\infty}(\Omega), \\ & \int_{t_1}^{t_2} v_t d t=0 \end{align}$$

を満たす任意の$\{v_t\}_{t\in[t_1,t_2]}$に対して、

$$\mathbb{E}\left[X_{t_2}\middle|\mathcal{F}_{t_1}\right] = X_{t_1} + \int_{t_1}^{t_2}k(q_t-q_{t_1})v_tdt=X_{t_1}+\frac{k}{2}(q_{t_2}-q_{t_1})^2=X_{t_1}$$

となり、動的アービトラージが存在しないことがわかる。

つまりこの仮定のもとでは恒久的マーケットインパクトが線形であることt動的アービトラージが存在しないことは同値である。なので、確率制御の文脈では恒久的マーケットインパクトが線形であるという仮定が置かれることが多い。