X - R 管理図 範囲 R の期待値、分散の求め方

はじめに

品質管理の手段として、$\bar{X} - R$ 管理図を用いることがあります。$\bar{X}$ すなわち、群(例えば同じロットなどの塊)の平均により群(ロット)間のばらつきを評価し、$R$ すなわち、群の最大値 - 最小値 により群（ロット）内のばらつきを評価する手法です。このとき、製品の合否は全体平均からのズレによって判定されます。しかし、そのズレについては、$R$ の期待値により決定され、その期待値については天下り的に導入されるものです。今回はその期待値および分散の式の証明方法について説明します。

具体的には、$R$ の期待値 $E[R]$、分散 $V[R]$ は　確率変数 $X$ の累積分布関数を $F(x)$ として

$$\left\{ \begin{aligned} E[R] &= \int_{-\infty}^{\infty} \left[ 1-F^{n}(x)- \{ 1-F(x) \}^{n} \right] dx =d_{2} \\ E[R^{2}] &= 2 \int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \left[ 1-F^{n}(x+r)- \{1-F(x)\}^{n} + \{F(x+r) - F(x) \}^{n} \right] dr dx \\ V[R] &=2 \int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \left[ 1-F^{n}(x+r)- \{1-F(x)\}^{n} + \{F(x+r) - F(x) \}^{n} \right] dr dx \\ &\hspace{11pt} - \left[ \int_{-\infty}^{\infty} \{1-F^{n}(x)-(1-F(x))^{n} \} dx \right]^{2} =d_{3}^{2} \end{aligned}\right.$$

で表されます。

前置き

• 確率変数 $X_{1},\cdots, X_{n}$ が互いに独立に同一の確率分布に従う。また、これらの順序統計量を $Y_{1},\dots,Y_{n}$ とし、$Y_{n} - Y_{1} = R$ (最大値 － 最小値を表す確率変数を $R$ )とする。
• $X_{i}$ の確率密度関数、累積分布関数をそれぞれ、$f(x),F(x)$とする。
• $E[X_{i}],V[X_{i}]$ が存在する（発散しない）。

手順

証明は、以下の手順で行います。

1. $X_{1},\dots,X_{n}$ の最小値が $x$, 最大値が $x+r$ (最大値 － 最小値 $=r$ )となる確率 $P(Y_{1}=x,Y_{n}=x+r)$ を求める。
2. $R$ の確率密度関数 $f_{R}(r)$ を求める。
3. $E[R]=\int_{0}^{\infty}rf_{R}(r)dr$ を求める。
4. $E[R^{2}]$ を求める。
5. $V[R]$ を求める。

1. 最大値 $=x+r,$ 最小値 $=x$ となる確率 $P(Y_{1}=x,Y_{n}=x+r)$

まず、$X_{1}$が最小値で $X_{1}=x$、 $X_{n}$が最大値で$X_{n}=x+r$　となる確率を求める。
このとき、

$$\left\{ \begin{aligned} &X_{1}=x \\ &x \lt X_{2} \lt x+r \\ & \hspace{30pt} \vdots \\ &x \lt X_{n-1} \lt x+r \\ &X_{n}=x+r \end{aligned} \right.$$

となる。確率はそれぞれ独立なので

$$\begin{aligned} P(X_{1}&=x, x \lt X_{2},\dots,X_{n-1} \lt x+r, X_{n}=x+r)\\ &=f(x) \{F(x+r)-F(x) \}^{n-2} f(x+r) \end{aligned}$$

ここで、$X_{1},\dots,X_{n}$ の並べ方は

$$\dfrac{n!}{1!(n-2)!1!}=n(n-1)$$

よって求める確率は

$$\begin{aligned} P(Y_{1}&=x,Y_{n}=x+r)\\ &=n(n-1)f(x) \{F(x+r)-F(x) \}^{n-2} f(x+r) \end{aligned}$$

となる。

2. $R$ の確率密度関数 $f_{R}(r)$

$R$ の確率密度関数は $P(Y_{1}=x,Y_{n}=x+r)$ を $x:-\infty \rightarrow \infty$ で積分したものである。よって、

$$f_{R}(r) = \int_{-\infty} ^{\infty} n(n-1)f(x) \{F(x+r)-F(x) \}^{n-2} f(x+r) dx$$

3. $R$ の期待値 $E[R]$

証明は結論から式変形し、$r$ に関する部分積分の逆の変形をする。

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} & \left[ 1-F^{n}(x)- \{ 1-F(x) \}^{n} \right] dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \left[ F^{n}(x+r) -\{F(x+r) - F(x)\}^{n} \right] ^{\infty} _ {0} dx\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty} nf(x+r) \left[ F^{n-1}(x+r) -\{F(x+r) - F(x)\}^{n-1} \right] dr dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \left[ r nf(x+r) \left[ \{F(x+r) - F(x)\}^{n-1} - F^{n-1}(x+r) \right] \right] ^{\infty} _ {0} dx (\rightarrow0) \\ &\hspace{11pt} - \int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \left( \dfrac{\partial}{\partial r} r \right) nf(x+r) \left[ \{F(x+r) - F(x)\}^{n-1} - F^{n-1}(x+r) \right] dr dx\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty} rn \left[ \dfrac{\partial}{\partial r} f(x+r) \left[ \{F(x+r) - F(x)\}^{n-1} - F^{n-1}(x+r) \right] \right] dr dx\\ &= \int_{0}^{\infty} rn \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \dfrac{\partial}{\partial r} f(x+r) \left[ \{F(x+r) - F(x)\}^{n-1} - F^{n-1}(x+r) \right] \right] dx\ dr\\ \end{aligned}$$

ここで、

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\partial}{\partial r} & f(x+r) \left[ \{F(x+r) - F(x)\}^{n-1} - F^{n-1}(x+r) \right] dx\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f'(x+r) \left[ \{F(x+r) - F(x)\}^{n-1} - F^{n-1}(x+r) \right] dx\\ &\hspace{11pt} + \int_{-\infty}^{\infty} f^{2}(x+r) (n-1) \left[ \{F(x+r) - F(x)\}^{n-2} - F^{n-2}(x+r) \right] dx\\ \end{aligned}$$

また、上式の第１項について $x$ について部分積分により

$$\begin{aligned} \int_{-\infty} ^{\infty} & f'(x+r) \left[ \{F(x+r) - F(x)\}^{n-1} - F^{n-1}(x+r) \right] dx\\ &= \int_{-\infty} ^{\infty} \left( \dfrac{\partial}{\partial x} f(x+r) \right) \left[ \{F(x+r) - F(x)\}^{n-1} - F^{n-1}(x+r) \right] dx\\ &= \left[ f(x+r) \left[ \{F(x+r) - F(x)\}^{n-1} - F^{n-1}(x+r) \right] \right]^{\infty}_{-\infty} \\ &\hspace{15pt} - \int_{-\infty}^{\infty} f(x+r) (n-1) \left[ \{ f(x+r)-f(x) \} \{F(x+r) - F(x)\}^{n-2} - f(x+r) F^{n-1}(x) \right] dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x+r) (n-1) \left[ \{ f(x)-f(x+r) \} \{F(x+r) - F(x)\}^{n-2} + f(x+r) F^{n-1}(x) \right] dx \\ \end{aligned}$$

よって、

$$\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial r} & f(x+r) \left[ \{F(x+r) - F(x)\}^{n-1} - F^{n-1}(x+r) \right] \\ &= f'(x+r) \left[ \{F(x+r) - F(x)\}^{n-1} - F^{n-1}(x+r) \right] \\ &\hspace{11pt} + f^{2}(x+r) (n-1) \left[ \{F(x+r) - F(x)\}^{n-2} - F^{n-2}(x+r) \right] \\ &=(n-1) f(x+r) \left[ \{ f(x)-f(x+r) \} \{F(x+r) - F(x)\}^{n-2} + f(x+r) F^{n-1}(x) \right] \\ &\hspace{11pt} + (n-1) f^{2}(x+r) \left[ \{F(x+r) - F(x)\}^{n-2} - F^{n-2}(x+r) \right] \\ &= (n-1) f(x+r) \big[ \{F(x+r) - F(x) \}^{n-2} \{ f(x) -f(x+r) +f(x+r)\} \\ &\hspace{89pt} + F^{n-2}(x+r) \{ f(x+r) -f(x+r) \} \big]\\ &= (n-1) f(x) f(x+r) \{F(x+r) - F(x) \}^{n-2} \hspace{20pt} \cdots\ \text{(a)} \end{aligned}$$

以上より、

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} & \left[ 1-F^{n}(x)- \{ 1-F(x) \}^{n} \right] dx \\ &= \int_{0}^{\infty} rn \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \dfrac{\partial}{\partial r} f(x+r) \left[ \{F(x+r) - F(x)\}^{n-1} - F^{n-1}(x+r) \right] \right] dx\ dr\\ &=\int_{0}^{\infty} r \int_{-\infty}^{\infty} n(n-1) f(x) f(x+r) \{F(x+r) - F(x) \}^{n-2} dx\ dr \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} r f_{R}(r) dr \\ &=E[R] \end{aligned}$$

4. $R^{2}$ の期待値 $E[R^{2}]$

こちらも結論から式変形し、$r$ に関する部分積分の逆の変形を繰り返す。

$$\begin{aligned} 2 & \int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \left[ 1-F^{n}(x+r)- \{1-F(x)\}^{n} + \{F(x+r) - F(x) \}^{n} \right] dr dx \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} \left[ 2r (1-F^{n}(x+r)- \{1-F(x) \}^{n} + \{F(x+r) - F(x) \}^{n} ) \right]^{\infty}_{0} dx (\rightarrow0)\\ &\hspace{12pt} -\int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \left( \dfrac{\partial}{\partial r} 2r \right) \left[ \{1-F(x)\}^{n} -1 + F^{n}(x+r) - \{F(x+r) - F(x) \}^{n} \right] dr dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty} 2r \dfrac{\partial}{\partial r} \left[ \{1-F(x)\}^{n} -1 + F^{n}(x+r) - \{F(x+r) - F(x) \}^{n} \right] dr dx\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty} 2rn f(x+r) \left[ F^{n-1}(x+r) - \{F(x+r) - F(x) \}^{n-1} \right] dr dx\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \left[ r^{2} n f(x+r) \left[ F^{n-1}(x+r) - \{F(x+r) - F(x) \}^{n-1} \right] \right]^{\infty}_{0} dx (\rightarrow0)\\ &\hspace{12pt} -\int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \left( \dfrac{\partial}{\partial r} r^{2} \right) n f(x+r) \left\{ F^{n-1}(x+r) - ( F(x+r) - F(x)) ^{n-1} \right\} dr dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty} r^{2} n \left[ \dfrac{\partial}{\partial r} f(x+r) \left\{ F^{n-1}(x+r) - ( F(x+r) - F(x)) ^{n-1} \right\} \right] dr dx \\ &= \int_{0}^{\infty} r^{2}n \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \dfrac{\partial}{\partial r} f(x+r) \left\{ F^{n-1}(x+r) - ( F(x+r) - F(x)) ^{n-1} \right\} \right] dx\ dr \\ &= \int_{0}^{\infty} r^{2} \int_{-\infty}^{\infty} n(n-1) f(x) f(x+r) \{F(x+r) - F(x) \}^{n-2} dx\ dr \hspace{10pt} *_{1}\\ &= \int_{0}^{\infty} r^{2} f_{R}(r) dr \\ &= E[R^{2}] \end{aligned}$$

$*_{1}$ 3. における (a) の式を利用

5. $R$ の分散 $V[R]$

$$\begin{aligned} V[R] &= E[R^{2}] - \{ E[R] \}^{2} \\ &=2 \int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \left[ 1-F^{n}(x+r)- \{1-F(x)\}^{n} + \{F(x+r) - F(x) \}^{n} \right] dr dx \\ &\hspace{11pt} - \left[ \int_{-\infty}^{\infty} \{1-F^{n}(x)-(1-F(x))^{n} \} dx \right]^{2} \end{aligned}$$