ざっくりとライプニッツの積分法則を解説

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Leibnizの積分法則とは

ライプニッツの積分法則とはf(x,y),\quad a(x), \quad b(x)が十分に微分可能なときに

\begin{aligned} &\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left(\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,y) {\rm d}y\right)\\ &= -f(x,b(x))\frac{{\rm d} a}{{\rm d}x}(x) + f(x,a(x))\frac{{\rm d} b}{{\rm d}x}(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y){\rm d}x \tag{1} \end{aligned}

が成立するという主張です。この公式は統計学や力学でそれなりに使われます。

ざっくりとした導出

式(1)が成り立つことを大学の教養数学程度の知識で厳密さに目をつむって導出したいと思います。

関数\Phiを以下のように定義します。

\Phi(x,\alpha,\beta) =\int_\alpha^\beta f(x,y){\rm d}y \tag{2}

式(2)を用いて式(1)の左辺を表すと

(LHS)=\frac{{\rm d} }{{\rm d} x}( \Phi(x,a(x),b(x))) \tag{3}

となります。ここで連鎖律を用いて式(3)を計算してみましょう。

\begin{aligned} \frac{{\rm d} }{{\rm d} x}( \Phi(x,a(x),b(x))) &= \frac{\partial \Phi}{\partial x}\frac{{\rm d}x}{{\rm d}x} + \frac{\partial \Phi}{\partial a}\frac{{\rm d}a}{{\rm d}x} + \frac{\partial \Phi}{\partial b}\frac{{\rm d}b}{{\rm d}x}\\ &= \frac{\partial \Phi}{\partial x} + \frac{\partial \Phi}{\partial a}\frac{{\rm d}a}{{\rm d}x} + \frac{\partial \Phi}{\partial b}\frac{{\rm d}b}{{\rm d}x} \end{aligned} \tag{4}

第一項は積分と微分を入れ替えます。詳細は後述しますが、以下の式が成立します。

\begin{aligned} \frac{\partial \Phi}{\partial x} &= \int_{a(x)}^{b(x)} f(x,y) {\rm d}y\\ &= \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) {\rm d}y \tag{5} \end{aligned}

式(4)の右辺第二項を計算します。右辺第二項は

\begin{aligned} \frac{\partial \Phi}{\partial a}\frac{{\rm d}a}{{\rm d}x} &= \frac{\partial}{\partial a}\left(\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,y){\rm d}y\right)\frac{{\rm d}a}{{\rm d}x}\\ &= -\frac{\partial}{\partial a}\left(\int^{a(x)}_{b(x)} f(x,y){\rm d}y\right)\frac{{\rm d}a}{{\rm d}x} \end{aligned}

ここで偏微分とは一つの変数のみ動かして他の変数を固定して微分をすることであるので、aで偏微分するときにはb,x,yは定数としてみなされます。また、微分積分学の基本定理より

\frac{\partial}{\partial a}\left(\int^{a}_{b} f(x,y){\rm d}y\right) = f(x,a)

が成り立ちます。
したがって第二項は

\frac{\partial \Phi}{\partial a}\frac{{\rm d}a}{{\rm d}x} = -f(x,a)\frac{{\rm d}a}{{\rm d}x} \tag{6}

となります。同様に第三項も以下のようになります。

\frac{\partial \Phi}{\partial b}\frac{{\rm d}b}{{\rm d}x}=f(x,b)\frac{{\rm d}b}{{\rm d}x} \tag{7}

式4に式5,6,7を代入して

\frac{{\rm d} }{{\rm d} x}( \Phi(x,a(x),b(x))) = f(x,b(x))\frac{{\rm d} a}{{\rm d}x}(x) - f(x,a(x))\frac{{\rm d} b}{{\rm d}x}(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y){\rm d}x

となり、Leibnizの積分法則が導出できました!

微分と積分の交換

微分可能な関数g(x)が以下のように定義されるとき

g(x) = \int_\alpha^\beta \phi(x,y){\rm d}y

g(x)の微分dg/dx

\frac{{\rm d}g}{{\rm d}x} = \int_\alpha^\beta \frac{\partial \phi}{\partial x}(x,y){\rm d}y \tag{A}

となります。これを示して行きます。まず、

g(x+\Delta x)=\int_\alpha^\beta\phi(x+\Delta x){\rm d}x

を考えます。積分の線形性より、

\frac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} = \int_\alpha^\beta\frac{\phi(x+\Delta x) - \phi(x)}{\Delta x}{\rm d}x

が成立します。ここで\Delta x \to 0で極限を取ると

\begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0}\left(\int_\alpha^\beta\frac{\phi(x+\Delta x) - \phi(x)}{\Delta x}{\rm d}x\right) \\ \frac{{\rm d}g}{{\rm d}x} &= \lim_{\Delta x \to 0}\left(\int_\alpha^\beta\frac{\phi(x+\Delta x) - \phi(x)}{\Delta x}{\rm d}x\right) \\ \end{aligned}

\phiが一様収束することを仮定して、極限を入れ替えると

\begin{aligned} \frac{{\rm d}g}{{\rm d}x} &= \int_\alpha^\beta\lim_{\Delta x \to 0}\left(\frac{\phi(x+\Delta x) - \phi(x)}{\Delta x}\right){\rm d}x \\ &= \int_\alpha^\beta \frac{\partial \phi}{\partial x}(x,y){\rm d}y \end{aligned}

となり、成立することが示せます(きちんと証明するのは結構大変ですが)。

利用例

工事中です

参考文献