ハイレベル線形代数演習 #1

問題

実対称Toeplitz行列

$$T=(τ0τ1⋯τn−1τ1τ0⋱⋮⋮⋱⋱τ1τn−1⋯τ1τ0) T = \begin{pmatrix} \tau_0 & \tau_1 & \cdots & \tau_{n-1}\\ \tau_1 & \tau_0 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \tau_1\\ \tau_{n-1} & \cdots & \tau_1 & \tau_0 \end{pmatrix}$$

に対し，その$k$次首座小行列式を$T_k$とする．$T$が正定値ならば，

$$\det T_{k+1} \le \frac{(\det T_k)^2}{\det T_{k-1}},\quad k = 2, 3, \dots, n-1$$

が成り立つことを示せ．

https://math.stackexchange.com/questions/2297035/determinant-inequality-about-toeplitz-matrix

解答

$T_k^{-1}$の$(1, 1)$成分を$a_k$とすれば，Laplace展開より，

$$a_k = \frac{\det T_{k-1}}{\det T_{k}}$$

となる．$T_{k+1}$のブロック行列表示を

$$T_{k+1} = \begin{pmatrix} T_{k} & u\\ u^{\top} & \tau_0 \end{pmatrix},\quad u = (\tau_1,\dots,\tau_{k-1})^{\top}$$

とすれば，$\tau_0$のShur補元は

$$T_k - \frac{1}{\tau_0}uu^{\top}$$

であるので，$a_k$はこの行列の逆行列の$(1, 1)$成分となる．$uu^{\top}$は半正定値行列なので，

$$\left(T_k - \frac{1}{\tau_0}uu^{\top}\right)^{-1} - T_k^{-1}$$

は半正定値となる．よって，$e_1 = (1,\dots,0)^{\top}$に対し，

$$a_{k+1} - a_k = e^{\top}\left\{\left(T_k - \frac{1}{\tau_0}uu^{\top}\right)^{-1} - T_k^{-1}\right\}e \ge 0$$

となり，$a_{k+1} \ge a_k$が成り立つ．

正則行列$D$に対し，$\widetilde{D} = A - BD^{-1}C$とすれば，

$$\begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \widetilde{D} & -\widetilde{D}BD^{-1}\\ -D^{-1}C\widetilde{D} & D^{-1} + D^{-1}C\widetilde{D}BD^{-1} \end{pmatrix}^{-1}$$

が成り立つ．この$\widetilde{D}$が$D$のShur補元である．