問題
実対称Toeplitz行列
T =
\begin{pmatrix}
\tau_0 & \tau_1 & \cdots & \tau_{n-1}\\
\tau_1 & \tau_0 & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & \tau_1\\
\tau_{n-1} & \cdots & \tau_1 & \tau_0
\end{pmatrix}
に対し，そのk次首座小行列式をT_kとする．Tが正定値ならば，
\det T_{k+1} \le \frac{(\det T_k)^2}{\det T_{k-1}},\quad
k = 2, 3, \dots, n-1
が成り立つことを示せ．
https://math.stackexchange.com/questions/2297035/determinant-inequality-about-toeplitz-matrix
解答
T_k^{-1}の(1, 1)成分をa_kとすれば，Laplace展開より，
a_k = \frac{\det T_{k-1}}{\det T_{k}}
となる．T_{k+1}のブロック行列表示を
T_{k+1} =
\begin{pmatrix}
T_{k} & u\\
u^{\top} & \tau_0
\end{pmatrix},\quad u = (\tau_1,\dots,\tau_{k-1})^{\top}
とすれば，\tau_0のShur補元は
T_k - \frac{1}{\tau_0}uu^{\top}
であるので，a_kはこの行列の逆行列の(1, 1)成分となる．uu^{\top}は半正定値行列なので，
\left(T_k - \frac{1}{\tau_0}uu^{\top}\right)^{-1} - T_k^{-1}
は半正定値となる．よって，e_1 = (1,\dots,0)^{\top}に対し，
a_{k+1} - a_k = e^{\top}\left\{\left(T_k - \frac{1}{\tau_0}uu^{\top}\right)^{-1} - T_k^{-1}\right\}e \ge 0
となり，a_{k+1} \ge a_kが成り立つ．
Discussion