ハイレベル線形代数演習 #1

問題

実対称Toeplitz行列

$$T=(τ0τ1⋯τn−1τ1τ0⋱⋮⋮⋱⋱τ1τn−1⋯τ1τ0) T = \begin{pmatrix} \tau_0 & \tau_1 & \cdots & \tau_{n-1}\\ \tau_1 & \tau_0 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \tau_1\\ \tau_{n-1} & \cdots & \tau_1 & \tau_0 \end{pmatrix}$$

に対し，その$kk$次首座小行列式を$TkT_k$とする．$TT$が正定値ならば，

$$det⁡Tk+1≤(det⁡Tk)2det⁡Tk−1,k=2,3,…,n−1 \det T_{k+1} \le \frac{(\det T_k)^2}{\det T_{k-1}},\quad k = 2, 3, \dots, n-1$$

が成り立つことを示せ．

https://math.stackexchange.com/questions/2297035/determinant-inequality-about-toeplitz-matrix

解答

$Tk−1T_k^{-1}$の$(1,1)(1, 1)$成分を$aka_k$とすれば，Laplace展開より，

$$ak=det⁡Tk−1det⁡Tk a_k = \frac{\det T_{k-1}}{\det T_{k}}$$

となる．$Tk+1T_{k+1}$のブロック行列表示を

$$Tk+1=(Tkuu⊤τ0),u=(τ1,…,τk−1)⊤ T_{k+1} = \begin{pmatrix} T_{k} & u\\ u^{\top} & \tau_0 \end{pmatrix},\quad u = (\tau_1,\dots,\tau_{k-1})^{\top}$$

とすれば，$τ0\tau_0$のShur補元は

$$Tk−1τ0uu⊤ T_k - \frac{1}{\tau_0}uu^{\top}$$

であるので，$aka_k$はこの行列の逆行列の$(1,1)(1, 1)$成分となる．$uu⊤uu^{\top}$は半正定値行列なので，

$$(Tk−1τ0uu⊤)−1−Tk−1 \left(T_k - \frac{1}{\tau_0}uu^{\top}\right)^{-1} - T_k^{-1}$$

は半正定値となる．よって，$e1=(1,…,0)⊤e_1 = (1,\dots,0)^{\top}$に対し，

$$ak+1−ak=e⊤{(Tk−1τ0uu⊤)−1−Tk−1}e≥0 a_{k+1} - a_k = e^{\top}\left\{\left(T_k - \frac{1}{\tau_0}uu^{\top}\right)^{-1} - T_k^{-1}\right\}e \ge 0$$

となり，$ak+1≥aka_{k+1} \ge a_k$が成り立つ．

正則行列$DD$に対し，$D~=A−BD−1C\widetilde{D} = A - BD^{-1}C$とすれば，

$$(ABCD)−1=(D~−D~BD−1−D−1CD~D−1+D−1CD~BD−1)−1 \begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \widetilde{D} & -\widetilde{D}BD^{-1}\\ -D^{-1}C\widetilde{D} & D^{-1} + D^{-1}C\widetilde{D}BD^{-1} \end{pmatrix}^{-1}$$

が成り立つ．この$D~\widetilde{D}$が$DD$のShur補元である．