問題
次の積分を求めよ．
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-x^2}}{1+x^2}\,dx
ただし，必要に応じて
N(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt
を用いてよい．
解答
t>0に対し，
f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-tx^2}}{1+x^2}\,dx
とすれば，f(0) = \piであり，
\frac{d}{dt}f(t) = f(t) - \int_{-\infty}^{\infty}e^{-tx^2}\,dx
= f(t) - \sqrt{\frac{\pi}{t}}
となる．よって，
\frac{d}{dt}e^{-t}f(t) = -\sqrt{\pi}t^{-1/2}e^{-t}
となる．従って，
e^{-t}f(t) = \pi - \sqrt{\pi}\int_{0}^{t}\xi^{-1/2}e^{-\xi}\,d\xi
となる．ここで，\xi = \zeta^2/2とすれば，
\int_{0}^{t}\xi^{-1/2}e^{-\xi}\,d\xi
= \sqrt{2}\int_{0}^{\sqrt{2t}}e^{-\zeta^2/2}\,d\zeta = \sqrt{\pi}(2N(\sqrt{2t}) - 1)
となる．ゆえに，t=1とすれば，
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-x^2}}{1+x^2}\,dx
= 2\pi e(1 - N(\sqrt{2}))
が成り立つ．
誤答例
\gamma_1 = \{x+iy\in\mathbb{C}; x^2 + y^2 =R^2, y\ge 0\}, \gamma_2=\{x+iy\in\mathbb{C}; -R\le x\le R, y=0\}とすれば，留数定理より，
\int_{\gamma_1 + \gamma_2}\frac{e^{-z^2}}{1+z^2}\,dz
= \int_{-R}^{R}\frac{e^{-x^2}}{1+x^2}\,dx + \int_{\gamma_1}\frac{e^{-z^2}}{1+z^2}\,dz = \pi e
となる．ここで，
\lim_{R\to\infty}\int_{\gamma_1}\frac{e^{-z^2}}{1+z^2}\,dz = 0
となるので，
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-x^2}}{1+x^2}\,dx = \pi e
が成り立つ（？）．
Discussion