ラプラス変換についてはWikipedia参照。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/ラプラス変換
ラプラス変換による s-領域において、
\frac{1}{1-\exp(-sT)} G(s)
なる項が逆ラプラス変換によって t-領域 にどう変換されるかについて以下に書きます。
\begin{split}
\frac{1}{1-\exp(-sT)}G(s) &= \sum_{k=0}^\infty e^{-ksT} G(s) \\
&= \sum_{k=0}^\infty u(t-kT) L^{-1}\{G\} .....(*)
\end{split}
特に、G(s) が1位の極のみを持つ場合：
L^{-1}\{G\} = \sum_{j=1}^m a_j e^{p_j t}
である。変数として、
N = \mathrm{floor} \left(\frac{t}{T} \right)
と置くと、
\begin{split}
(*) &= \sum_{k=0}^N \sum_{j=1}^m a_j e^{p_j (t-kT)}
\\&= \sum_{j=1}^m \left[ a_j e^{p_j t} \left(
\sum_{k=0}^N e^{-kp_j T}
\right) \right]
\\&= \sum_{j=1}^m \left[ a_j e^{p_j t}
\cdot \frac{1-e^{-p_j T(N+1)}}{1-e^{-p_j T}}
\right]
\\&= \sum_{j=1}^m \left[ a_j e^{p_j (t - NT)}
\cdot \frac{1-e^{p_j T(N+1)}}{1-e^{p_j T}}
\right]
\\&= \sum_{j=1}^m \left[ a_j e^{p_j \Delta t}
\cdot \frac{1-e^{p_j T(N+1)}}{1-e^{p_j T}}
\right]
\end{split}
となる。特に、すべての極が負値を取り、t \gg 1 のとき、
\sum_{j=1}^m
\frac{a_j}{1-e^{p_j T}} e^{p_j \Delta t}
が成り立つ。
n位の極をもつ場合、
https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=Sum[Power[k%2Cr]exp\(40)a*k\(41)%2C{k%2C0%2Cn}]&lang=ja
より
\phi_r := \sum_{k=0}^{N} k^r e^{kaT}
= \mathrm{Li}_{-r}(e^a) - e^{a(N+1)}\Phi(e^a, -r, N+1)
である。ここで、\mathrm{Li} は多重対数関数、\Phi はレルヒの超越関数。
から、
\frac{1}{1-e^{-sT}} \frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}
\mapsto \frac{e^{-\alpha t}}{n!}
\sum_{r=0}^n {}_n C_r t^{n-r} (-T)^r \phi_r
となる。
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