🤧

等比級数の公式の求め方(変体)

2023/09/02に公開

a \ne 0 として:

\begin{split} \int_0^{n+1} e^{at} &= \sum_{k=0}^{n} \int_k^{k+1} e^{at} dt \\&= \sum_{k=0}^{n} \int_0^1 e^{a(k+t')} dt' \\&= \left( \sum_{k=0}^{n} e^{ak} \right) \int_0^1 e^{at'} dt' \end{split}

よって、

\sum_{k=0}^{n} e^{ak} = \frac{ \int_0^{n+1} e^{at} dt }{ \int_0^1 e^{at} dt } = \frac{1 - e^{a(n+1)}}{1 - e^{a}}

特に a = \ln r のとき、

\sum_{k=0}^{n} r^{k} = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}

Discussion