等比級数の公式の求め方（変体）

$a≠0a \ne 0$ として：

$$∫0n+1eat=∑k=0n∫kk+1eatdt=∑k=0n∫01ea(k+t′)dt′=(∑k=0neak)∫01eat′dt′ \begin{split} \int_0^{n+1} e^{at} &= \sum_{k=0}^{n} \int_k^{k+1} e^{at} dt \\&= \sum_{k=0}^{n} \int_0^1 e^{a(k+t')} dt' \\&= \left( \sum_{k=0}^{n} e^{ak} \right) \int_0^1 e^{at'} dt' \end{split}$$

よって、

$$∑k=0neak=∫0n+1eatdt∫01eatdt=1−ea(n+1)1−ea \sum_{k=0}^{n} e^{ak} = \frac{ \int_0^{n+1} e^{at} dt }{ \int_0^1 e^{at} dt } = \frac{1 - e^{a(n+1)}}{1 - e^{a}}$$

特に $a=ln⁡ra = \ln r$ のとき、

$$∑k=0nrk=1−rn+11−r \sum_{k=0}^{n} r^{k} = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}$$