数学の「命題」を英語の用語で理解

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命題についてはこういうもの

http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-1_meidaironri.pdf

真であるか偽であるかが明確に定まる主張のことを命題という. つまり, 命題
は必ず真か偽であり, 中間のグレーゾーンを許さない. この原理を排中律とい
う. また, 一つの命題が同時に真でありかつ偽であることはない. これを矛盾律
という. たとえば,「7 は素数である」や「円周率は 3 より小さい」という主張
は命題であり, 前者は真であり, 後者は偽である. 双子素数は無数に存在するか
と問われたとき, その答は無数に存在するか, 有限個で尽きるかのいずれかであ
る. 1) したがって,「双子素数は無数に存在する」という主張は命題である. 一方
で,「円周率は 3 に近い」という主張は, 述べ方が曖昧で真偽を明確にできない
ので命題ではない. 以下では, 命題を P, Q, . . . のような大文字で表す.

「論理演算」というのがあり、

  • 否定 NOT
  • 論理和 OR
  • 論理積 AND
  • 含意

このへんの分野を英語で理解したい。

http://www.math.niu.edu/~richard/Math101/logic.pdf

A logical statement is a declarative sentence which conveys factual information. If the information is correct then we say the statement is true; and if the information is incorrect, then we say the statement is false.

open statements / predicates

以下のようなlogical statementopen statementsという。

P(x): x+3≤6 (x∈R)

Their value of truth depends on the value(s) of the variable(s). For example the open statement

P(x): x+3≤6

is true for x = -1, but is false if x = 10.

The set of all values of the possible variables for which the statement is true is called the set of truth.

否定、論理和、論理積、含意

否定は、negation: ¬
論理和は、disjunction: ∨
論理積は、conjunction: ∧
含意は、implication =>
と表現する。

p q ¬p p ∨ q p ∧ q p => q
true true false true true true
true false false false true false
false true false false true true
false false true false false true

量化子 Quantifier

・全称量化子「条件を満たすもの全てを表す」
・存在量化子「条件を満たすものが存在することを表す」

https://www.practmath.com/quantifier/

難しいがこれは、高校数学の問題や解答でよく見る「あるxについて...」、「全てのxについて」を表現するもの(だと思う)。

全称量化子は

universal quantifier: ∀

存在量化子は

the existential quantifier: ∃

と表現する。

例を見よう。集合Tに属するxで表されるQ(x)は以下のように表現可能。

∀ x ∈ T : Q(x)
// This means that the statement Q (x) is true for all the values of x from the set T.

さらに、

∃ x ∈ T : P(x)
// This means that there is at least one x value from the set T for which the statement P(x) is true.

https://www.csm.ornl.gov/~sheldon/ds/sec1.1.html