論理包含について

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これは論理演算の一つで、英語では implication と呼ばれます。

2つの命題 P と Q に対する論理包含は

P → Q

のように表現されます。

論理演算は、ANDやInclusive ORやExclusive ORなどです。

分かりやすさのために、implicationのTruth tableを示します。

A B A → B
T T T
T F F
F T T
F F T

上記のTableをみてわかるように、1つ目の命題AがTrueでかつ2つ目の命題BがFalseの時のみ、命題全体がFalseとなるのが、implicationというこの論理演算です。

どうしてこうなるかを例を用いて説明します。

「私が1億円の宝くじに当たったら、あなたに100万円をあげます。」

この文では、2つの命題は以下のものに相当します。

命題A: 「私が1億円の宝くじに当たる」
命題B: 「あなたに100万円をあげる」

私が約束を守った場合(例えば、宝くじに当たってあなたに100万円を与える場合など)はA→BはTrueとなり、約束を破った場合は命題全体であるA→BはFalseとなります。

各々命題A,BがTrue, Falseの場合を見てみましょう。

命題AがTrueの場合

「私が1億円の宝くじに当たる」が起こった場合を考えてみます。

この場合、 「あなたに100万円をあげる」がTrueの場合、私は約束を守っていることになるので、A → BはTrueとなります。
一方、 あなたに100万円をあげなかった場合、宝くじに当たったのに、100万円をあげる約束を果たしていません。そのため、 A → BはFalseになります。

いったんまとめると、以下のようになることがわかります。

A B A ⇒ B
T T T
T F F

命題AがFalseの場合

「私が1億円の宝くじに当たる」が起こらなかった場合を考えてみます。

この場合、私は宝くじに当たってないので、 あなたに100万円をあげようがあげまいが当初の約束(= 命題全体のA → B)を破ってはいません。

この命題 A → B は、宝くじが当たらなかった場合について言及してないためです。

宝くじにあたってないけど、100万円をあげるということがあってもいいでしょう。宝くじにあたってないから、100万円はあげられないと言うこともありえます。いずれの場合も、「私が1億円の宝くじに当たったら、あなたに100万円をあげます。」という約束自体はやぶっていないと解釈します。

というわけで、命題Aがfalseの場合は命題Bの真偽にかかわらず約束はやぶることにはならないので、A→BはTrueとなります。

A B A ⇒ B
F T T
F F T

以上より

以下のようなTruth Tableが導かれます。

A B A → B
T T T
T F F
F T T
F F T

参考