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微分・積分

微分の定義

実数関数 $f(x)$ について微分可能であるを定義すると

関数f(x)がx=aで微分可能である\xLeftrightarrow{def} f'(a) \vcentcolon =\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} が存在する

となる
この時、 $f'(a)$ は $x = a$ における $f(x)$ の微分係数という

関数f(x) = x^2 のa = 1における微分係数f'(a)

f'(a) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2

f'(a)が存在するのでf(x)はx=1で微分可能である

関数f(x) = |x|のa=0における微分係数f'(a)

f'(a) = \lim_{x \to 0} \frac{|x|-|0|}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}

この時、右側極限と左側極限を考える

\lim_{x \to +0} \frac{|x|}{x} = 1

\lim_{x \to -0} \frac{|x|}{x} = -1

よって $f'(a)$ は一意に定まらないので $f(x)$ は $x=0$ で微分可能でない

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