微分の定義

実数関数f(x)について微分可能であるを定義すると

関数f(x)がx=aで微分可能である\xLeftrightarrow{def} f'(a) \vcentcolon =\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} が存在する

となる
この時、f'(a)はx = aにおけるf(x)の微分係数という

例その１

関数f(x) = x^2 のa = 1における微分係数f'(a)

f'(a) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2

f'(a)が存在するのでf(x)はx=1で微分可能である

例その2

関数f(x) = |x|のa=0における微分係数f'(a)

f'(a) = \lim_{x \to 0} \frac{|x|-|0|}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}

この時、右側極限と左側極限を考える

(i)右側極限の場合

\lim_{x \to +0} \frac{|x|}{x} = 1

(ii)左側極限の場合

\lim_{x \to -0} \frac{|x|}{x} = -1

よってf'(a)は一意に定まらないのでf(x)はx=0で微分可能でない