ベクトルの内積とは？

ベクトルの内積とは？視覚的に理解する

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1. 内積とは？

• 2つのベクトルがどれだけ似ているかを測ることができる
• 2つのベクトルのなす角度が、
  • 90度未満だと内積は正になる
  • 90度だと内積は0になる
  • 90度超だと内積は負になる

2つのベクトルが単語ベクトルだとすると、内積を出すことで「どれほど似た言葉か」評価できる

2. 実例を用いて確認する

• 内積の式：

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos \theta$$

2-1. 2つのベクトルのなす角度が90度未満の場合（約18.4度の場合）

• ベクトル$\mathbf{a}$, ベクトル$\mathbf{b}$

$$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$$

• 内積（ベクトル$\mathbf{a}$は転置して計算）

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} = 1 \cdot 3 + 0 \cdot 1 = 3$$

2-2. 2つのベクトルのなす角度が90度の場合

• ベクトル$\mathbf{a}$, ベクトル$\mathbf{b}$

$$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

• 内積（ベクトル$\mathbf{a}$は転置して計算）

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$$

2-3. 2つのベクトルのなす角度が90度超の場合（約116.6度）

• ベクトル$\mathbf{a}$, ベクトル$\mathbf{b}$

$$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

• 内積（ベクトル$\mathbf{a}$は転置して計算）

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} = 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 1 = -2$$