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ヤコビアンについて(メモ)

2021/12/12に公開

2変数関数の重積分(面積)を考えた場合。 xy平面→ uv平面の変数変換によるヤコビアン(ヤコビ行列; Jacobian matrix)は

J(u,v) = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}

である。

導出

(以下、何か間違い等あればご指摘いただきたいです)
例えば、xy 平面上のある領域をuv平面上のある領域に変換することでその面積求める場合を考える。 (xyで表現するよりも新たな変数に変換した方が積分の計算が楽になる場合など)

この時、積分に用いるdxdydudvの値(面積)は異なるため、単にx,yu,vに変換するだけでは面積を求めることができず。何かしらの値ををかける必要がある。(下図) ここで用いられるのがヤコビアンである。

x および y を、以下のように uvで表すとする。

x=x(u,v)
y=y(u,v)(関数の対応関係が分かりやすいように$x(u)

ここで、xy 平面上での微小面積( S | 下図)をuvでどう表すかを考えてみる。

平面上の、O, A, B の座標はそれぞれ

O(x(u,v), y(u,v))
A(x(u+\Delta u, v), y(u+\Delta u, v))
B(x(u,v+ \Delta v), y(u,v+ \Delta v))

\Delta u,\Delta vが十分小さい時、面積Sは、\vec{OA}\vec{OB}から作られる平行四辺形の面積とみなせる。

ここで、下記式(テイラー展開より導出)を用いると、

x(u+\Delta u, v) \fallingdotseq x(u,v) + \frac{\partial x}{\partial u}\Delta u

より、

\vec{OA} \fallingdotseq (\frac{\partial x}{\partial u}\Delta u \quad \frac{\partial y}{\partial u}\Delta u)
\vec{OB} \fallingdotseq (\frac{\partial x}{\partial v}\Delta v \quad \frac{\partial y}{\partial v}\Delta v)

\vec{OA}\vec{OB}から作られる平行四辺形の面積は、\vec{OA}\vec{OB}の行列式と等しいので、

S \fallingdotseq \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u}\Delta{u} & \frac{\partial x}{\partial v}\Delta{v} \\ \frac{\partial y}{\partial u}\Delta{u} & \frac{\partial y}{\partial v}\Delta{v} \end{vmatrix} \\ = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} \Delta{u}\Delta{v}

ここで、

J(u,v) = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}

ヤコビアン(J(u,v) という。

これを使うと、Sの面積は下記式で求められる。

\iint\_D f(x,y)dxdy = \iint\_E f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv

例題

\iint\_D (x-y)e^{x+y}dxdy
\{ D={(x,y)|0 \leq x+y \leq 2, \quad 0 \leq x-y \leq 2} \}

を求めよ。

解)

x+y = u
x-y = v

とおくと、

x = \frac{1}{2}(u+v)
y = \frac{1}{2}(u-v)

ヤコビアンJ(u,v)は、

J(u,v) = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{1} & -\frac{1}{2} \end{vmatrix} = \frac{1}{2}

よって、

\begin{align} \iint\_D (x-y)e^{x+y}dxdy &= \int^2\_0\int^2\_0 ve^u \frac{1}{2} dudv \\ &= \frac{1}{2}\int^2\_0\ \begin{bmatrix} ve^u\end{bmatrix}^2\_0 dv \\ &= \frac{1}{2}\int^2\_0\ (ve^2-v)dv\\ &= \frac{1}{2}\begin{bmatrix} \frac{e^2}{2}v^2 - \frac{1}{2}v^2\end{bmatrix}^2\_0\\ &= e^2-1 \end{align}

参考

関連書籍

以上

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