nが素数のときnCrはnで割れる

$$\begin{aligned} r \ _n\mathrm{C}_r &= r\ \frac{n!}{(n-r)!r!} \\ &=n\ \frac{(n-1)!}{(n-r)!(r-1)!} \\ &= n \ _{n-1}\mathrm{C}_{r-1} \\ \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} r \ _n\mathrm{C}_r &= n \ _{n-1}\mathrm{C}_{r-1}\\ &= nk\ (k \in \mathbb{Z}) \end{aligned}$$

$r$,$n$が互いに素なら、$k$は$r$の倍数。

$$_n\mathrm{C}_r = n \frac{k}{r}=nk'$$

となり、$_n\mathrm{C}_r$はnの倍数。
$n \in \mathbb{P},1 \leq r < n$ のとき，$r$と$n$は互いに素。したがって$n$が素数のとき、$\ _n\mathrm{C}_r$は$n$で割れる。

ポイント

nとrが互いに素なら、という条件を見つけること。

reference

https://manabitimes.jp/math/588