チャットAIに大学初年次の数学(解析学)をやらせてみる (ChatGPT, Bing)

2023の2022乗がちゃんとわからないという数学が不得意なChatGPT、果たして大学の1年生で学習する数学 (解析学) に出てくる証明はできるのでしょうか。

ChatGPTとBingAIで試しました。

(2023年2月末頃の記録です。今日2023年3月15日GPT-4が出たので、随分変わるのではないかと思います。)

一部、順序付き箇条書きとTeXのエラーのみ手動で編集を加えています。それ以外はチャットAI出力原文ママです。

tl;dr

• 前半、やっぱり現在^[1]のチャットAIは数学は苦手なんだなあ。
• 後半、これはなかなかすごい。

1次関数の連続性

まず、1年生用の簡単な証明問題をやらせてみます。

入力

関数f(x)=xがすべての実数xで連続であることを証明して下さい。

ChatGPTの出力

$f(x)=x$がすべての実数$x$で連続であることを示すには、以下の3つの条件を証明する必要があります。

1. $f(x)$が定義されているすべての$x$で存在すること。
2. $f(x)$が$x=a$で連続であるための$\epsilon-\delta$定義を満たすこと。
3. $f(x)$がすべての$x$で連続であることを示すための任意の方法を用いること。

以下では、これらの条件を順番に説明します。

1. $f(x)$が定義されているすべての$x$で存在すること。

$f(x)$は、$x$が実数である限り、常に定義されます。つまり、$f(x)$はすべての実数$x$で存在します。

2. $f(x)$が$x=a$で連続であるための$\epsilon-\delta$定義を満たすこと。

$x=a$で$f(x)$が連続であるためには、$\epsilon-\delta$定義を満たす必要があります。つまり、任意の正の数$\epsilon$に対して、十分小さい正の数$\delta$が存在して、$|x-a|<\delta$の場合には$|f(x)-f(a)|<\epsilon$が成り立ちます。

この場合、$f(x)=x$であるため、$|f(x)-f(a)|=|x-a|$となります。したがって、$\epsilon-\delta$定義は次のように書くことができます。

任意の正の数$\epsilon$に対して、$\delta=\epsilon$とすれば、$|x-a|<\delta$の場合には$|f(x)-f(a)|=|x-a|<\epsilon$が成り立ちます。

したがって、$f(x)=x$は$x=a$で連続です。

3. $f(x)$がすべての$x$で連続であることを示すための任意の方法を用いること。

$x=a$以外の場合、$f(x)$は明らかに連続です。したがって、任意の$x$で$f(x)$は連続です。

以上のように、$f(x)=x$がすべての実数$x$で連続であることが示されました。

3の、連続であることを示すための「任意の方法を用いること」ってなんだよ……。

出ました! 「したがって」! 「Aである。したがって、Bである。」のように、何が「したがって」なのかさっぱり説明できていないタイプの書き方は「おかしな証明の書き方あるある」です。

出ました! 「明らかに」! こともあろうにここでは証明すべきことを明らかと言ってしまいました。これも「おかしな証明の書き方あるある」です。

Bingの出力

こんにちは、これはBingです。😊

関数f(x)=xがすべての実数xで連続であることを証明するには、次のような方法があります。

• 関数f(x)の極限値を求める方法²：関数f(x)のx→aにおける極限値がf(a)であることを示す。つまり、
  
  $$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$
  
  が成り立つことを示す。これは、任意の正の実数εに対して、ある正の実数δが存在して、
  
  $$|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon$$
  
  が成り立つことを示せばよい。
• 関数f(x)の連続性の定義³：関数f(x)が任意の点aで連続であることは、以下の3つの条件がすべて満たされることと同値である。
  • 関数f(x)は点aで定義されている。
  • 関数f(x)は点aで極限値を持つ。
  • 関数f(x)の点aでの極限値は関数値f(a)に等しい。

どちらの方法でも、関数f(x)=xはすべての実数xで連続であることが証明できます。詳細な証明は以下にあります²³。

• ²: https://www.risalc.info/src/continuous-function.html
• ³: https://math-note.com/continuous-of-function/

ソース: Bing との会話 2023/2/27(1) 関数が連続とは？ - 具体例と性質 (証明付) - 理数アラカルト. https://www.risalc.info/src/continuous-function.html アクセス日時 2023/2/27.
(2) 例題で理解する関数の連続（解析学 第I章 実数と連続11）. https://math-note.com/continuous-of-function/ アクセス日時 2023/2/27.
(3) 関数の連続性と一様連続性 | 高校数学の美しい物語. https://manabitimes.jp/math/788 アクセス日時 2023/2/27.

「詳細な証明は以下にあります」

自分では証明しないんだ……。
何を言えば証明したことになるかだけ確認して、あとは外部サイトに丸投げするようです。

やっぱしチャットAIは数学苦手なんじゃのう。

じゃあ1点での連続性は

すべての実数 $x$ で連続であることの証明は難しそうです。それでは1点での連続性はわかるでしょうか。関数 $f(x)=x$ が $x=0$ で連続であることを証明させてみます。

入力

関数f(x)=xがx=0で連続であることを証明して下さい。

ChatGPTの出力

$f(x)=x$が$x=0$で連続であるためには、以下の3つの条件を証明する必要があります。

1. $f(0)$が定義されていること。
2. $f(x)$が$x=0$で連続であるための$\epsilon-\delta$定義を満たすこと。
3. $f(x)$が$x=0$で連続であることを示すための任意の方法を用いること。

以下では、これらの条件を順番に説明します。

1. $f(0)$が定義されていること。

$f(0)$は、$f(0)=0$となります。よって、$f(0)$は定義されています。

2. $f(x)$が$x=0$で連続であるための$\epsilon-\delta$定義を満たすこと。

$x=0$で$f(x)$が連続であるためには、$\epsilon-\delta$定義を満たす必要があります。つまり、任意の正の数$\epsilon$に対して、十分小さい正の数$\delta$が存在して、$|x-0|<\delta$の場合には$|f(x)-f(0)|<\epsilon$が成り立ちます。

この場合、$f(x)=x$であるため、$|f(x)-f(0)|=|x-0|=|x|$となります。したがって、$\epsilon-\delta$定義は次のように書くことができます。

任意の正の数$\epsilon$に対して、$\delta=\epsilon$とすれば、$|x-0|<\delta$の場合には$|f(x)-f(0)|=|x|<\epsilon$が成り立ちます。

したがって、$f(x)=x$は$x=0$で連続です。

3. $f(x)$が$x=0$で連続であることを示すための任意の方法を用いること。

$x=0$以外の場合、$f(x)$は明らかに連続です。したがって、任意の$x$で$f(x)$は連続です。

以上のように、$f(x)=x$が$x=0$で連続であることが示されました。

おおっ! 2を見て下さい。$\delta$ として $\epsilon$ を取りました!

相変わらず 3 では「〜を示すための任意の方法を用いること」って言っているけど(笑)

Bingの出力

関数f(x)=xがx=0で連続であることを証明するには、関数f(x)のx→0における極限値がf(0)であることを示す方法²があります。つまり、

$$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$$

が成り立つことを示す方法です。これは、任意の正の実数εに対して、ある正の実数δが存在して、

$$|x-0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(0)|<\epsilon$$

が成り立つことを示せばよいです。

具体的には、以下のようになります。

• 任意の正の実数εに対して、δ=εとおく。
• このとき、|x-0|<δならば、|f(x)-f(0)|=|x-0|<δ=εとなる。
• よって、
  
  $$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$$
  
  が成り立ちます。

したがって、関数f(x)=xはx=0で連続であることが証明できました。詳細な証明は以下にあります²。

• ²: https://www.risalc.info/src/continuous-function.html

ソース: Bing との会話 2023/2/27(1) 関数の連続性と微分可能性の意味と関係 | 高校数学の美しい物語. https://manabitimes.jp/math/1105 アクセス日時 2023/2/27.
(2) 関数の連続性と一様連続性 | 高校数学の美しい物語. https://manabitimes.jp/math/788 アクセス日時 2023/2/27.
(3) 関数が連続とは？ - 具体例と性質 (証明付) - 理数アラカルト. https://www.risalc.info/src/continuous-function.html アクセス日時 2023/2/27.

おおっ! Bingも $\delta=\epsilon$ と取った!

関数を2倍にしてみよう

すごいですね。しかし $\delta=\epsilon$ と同じものを取れば良いので簡単でした。

では、$2x$ にしたらちゃんと $\delta$ を取れるでしょうか。

入力

関数f(x)=2xがx=0で連続であることを証明して下さい。

ChatGPTの出力

$f(x)=2x$が$x=0$で連続であるためには、以下の3つの条件を証明する必要があります。

1. $f(0)$が定義されていること。
2. $f(x)$が$x=0$で連続であるための$\epsilon-\delta$定義を満たすこと。
3. $f(x)$が$x=0$で連続であることを示すための任意の方法を用いること。

以下では、これらの条件を順番に説明します。

1. $f(0)$が定義されていること。

$f(0)$は、$f(0)=2(0)=0$となります。よって、$f(0)$は定義されています。

2. $f(x)$が$x=0$で連続であるための$\epsilon-\delta$定義を満たすこと。

$x=0$で$f(x)$が連続であるためには、$\epsilon-\delta$定義を満たす必要があります。つまり、任意の正の数$\epsilon$に対して、十分小さい正の数$\delta$が存在して、$|x-0|<\delta$の場合には$|f(x)-f(0)|<\epsilon$が成り立ちます。

この場合、$f(x)=2x$であるため、$|f(x)-f(0)|=|2x-0|=|2x|$となります。したがって、$\epsilon-\delta$定義は次のように書くことができます。

任意の正の数$\epsilon$に対して、$\delta=\frac{\epsilon}{2}$とすれば、$|x-0|<\delta$の場合には$|f(x)-f(0)|=|2x-0|=|2x|<2\delta=\epsilon$が成り立ちます。

したがって、$f(x)=2x$は$x=0$で連続です。

3. $f(x)$が$x=0$で連続であることを示すための任意の方法を用いること。

$x=0$以外の場合、$f(x)$は明らかに連続です。したがって、任意の$x$で$f(x)$は連続です。

以上のように、$f(x)=2x$が$x=0$で連続であることが示されました。

おおおおお!! $\delta=\frac{\epsilon}{2}$と取ったよ!!!
その後の式変形もバッチリ!
(相変わらず 3 はとんちんかんですが ($x=0$以外のことはそもそも聞いてない))

Bingの出力

関数f(x)=2xがx=0で連続であることを証明するには、関数f(x)のx→0における極限値がf(0)であることを示す方法²があります。つまり、

$$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$$

が成り立つことを示す方法です。これは、任意の正の実数εに対して、ある正の実数δが存在して、

$$|x-0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(0)|<\epsilon$$

が成り立つことを示せばよいです。

具体的には、以下のようになります。

• 任意の正の実数εに対して、δ=ε/2とおく。
• このとき、|x-0|<δならば、|f(x)-f(0)|=|2x-0|=2|x-0|<2δ=εとなる。
• よって、
  
  $$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$$
  
  が成り立ちます。

したがって、関数f(x)=2xはx=0で連続であることが証明できました。詳細な証明は以下にあります²。

• ²: https://math-note.com/continuous-of-function/

ソース: Bing との会話 2023/2/27(1) 例題で理解する関数の連続（解析学 第I章 実数と連続11）. https://math-note.com/continuous-of-function/ アクセス日時 2023/2/27.
(2) 連続であることの証明。f(x)=xsin(1/x)(x≠0)... - Yahoo!知恵袋. https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1013080320 アクセス日時 2023/2/27.
(3) 関数の連続性と一様連続性 | 高校数学の美しい物語. https://manabitimes.jp/math/788 アクセス日時 2023/2/27.
(4) 関数の連続性と微分可能性の意味と関係 | 高校数学の美しい物語. https://manabitimes.jp/math/1105 アクセス日時 2023/2/27.

Bingもちゃんと「任意の正の実数εに対して、δ=ε/2と」おきました!!!
しかもBingはx=0以外のことを言うなんてしてきません。

感想

おおっ!

一様連続ではない関数はできるのか

なかなかやりました。でも、一様連続ではない関数は少し難しくなります。$\delta$の取り方を工夫しないといけないからです。

入力

関数f(x)=x^2がx=1で連続であることを証明して下さい。

ChatGPTの出力

$f(x)=x^2$が$x=1$で連続であるためには、以下の3つの条件を証明する必要があります。

1. $f(1)$が定義されていること。
2. $f(x)$が$x=1$で連続であるための$\epsilon-\delta$定義を満たすこと。
3. $f(x)$が$x=1$で連続であることを示すための任意の方法を用いること。

以下では、これらの条件を順番に説明します。

1. $f(1)$が定義されていること。

$f(1)$は、$f(1)=1^2=1$となります。よって、$f(1)$は定義されています。

2. $f(x)$が$x=1$で連続であるための$\epsilon-\delta$定義を満たすこと。

$x=1$で$f(x)$が連続であるためには、$\epsilon-\delta$定義を満たす必要があります。つまり、任意の正の数$\epsilon$に対して、十分小さい正の数$\delta$が存在して、$|x-1|<\delta$の場合には$|f(x)-f(1)|<\epsilon$が成り立ちます。

この場合、$f(x)=x^2$であるため、$|f(x)-f(1)|=|x^2-1|=|x-1||x+1|$となります。したがって、$\epsilon-\delta$定義は次のように書くことができます。

任意の正の数$\epsilon$に対して、$\delta=\min\left\{1, \frac{\epsilon}{3}\right\}$とすれば、$|x-1|<\delta$の場合には$|f(x)-f(1)|=|x-1||x+1|<\delta\cdot(2+\delta)\leq 3\delta=\epsilon$が成り立ちます。

したがって、$f(x)=x^2$は$x=1$で連続です。

3. $f(x)$が$x=1$で連続であることを示すための任意の方法を用いること。

$x=1$以外の場合、$f(x)$は明らかに連続です。したがって、任意の$x$で$f(x)$は連続です。

以上のように、$f(x)=x^2$が$x=1$で連続であることが示されました。

おおおおお! 2 を見て下さい。
$\delta=\min\left\{1, \frac{\epsilon}{3}\right\}$と取った!

その$\delta$のときに $2+\delta$ が 3で押さえられることをちゃんと述べると丁寧ですね。

最後が $3\delta = \epsilon$ になっているところが惜しい。

Bingの出力

関数f(x)=x^2がx=1で連続であることを証明するには、関数f(x)のx→1における極限値がf(1)であることを示す方法²があります。つまり、

$$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$$

が成り立つことを示す方法です。これは、任意の正の実数εに対して、ある正の実数δが存在して、

$$|x-1|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(1)|<\epsilon$$

が成り立つことを示せばよいです。

具体的には、以下のようになります。

• 任意の正の実数εに対して、δ=min{1,ε/4}とおく。
• このとき、|x-1|<δならば、0<x<2となる。
• すると、|f(x)-f(1)|=|x^2-1|=|(x+1)(x-1)|=|x+1||x-1|<4|x-1|<4δ≦εとなる。
• よって、
  
  $$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$$
  
  が成り立ちます。

したがって、関数f(x)=x^2はx=0で連続であることが証明できました。詳細な証明は以下にあります³。

• ³: https://www.risalc.info/src/continuous-function.html#example_3

ソース: Bing との会話 2023/2/27(1) 例題で理解する関数の連続（解析学 第I章 実数と連続11）. https://math-note.com/continuous-of-function/ アクセス日時 2023/2/27.
(2) 関数が連続とは？ - 具体例と性質 (証明付) - 理数アラカルト. https://www.risalc.info/src/continuous-function.html アクセス日時 2023/2/27.
(3) 関数の連続性と微分可能性の意味と関係 | 高校数学の美しい物語. https://manabitimes.jp/math/1105 アクセス日時 2023/2/27.

おおおおお! δ=min{1,ε/4}とおいて、最後も「4δ≦εとなる」とした!!!

最後、突然 $f(x) \rightarrow f(0)$ や「x=0で連続であること」などと言い間違えています。不注意ミス。人間もよくやる。

おわりに

なかなかすごかったです。
自分で考えられないと間違いには気づけませんが、レポートの下書きには十分採用できる部分があります。
あとBingの方がよかったです。

脚注

1. 2023年2月末頃