命題

k, n \in \left \{ 1, 2, 3, \dots \right \};\; n \leq k+ 1 のとき、

\left \lfloor \frac{kn}{k+1} \right \rfloor = n - 1.

なお、

\mathrm{floor}\colon\: \mathbb{R} \to \mathbb{Z};\; x \mapsto \max \left \{i \in \mathbb{Z} \mid i \leq x \right \};\; \left \lfloor \cdot \right \rfloor := \mathrm{floor}(\cdot).

証明

[1]: n = 1 のとき

不等式 n \leq k + 1 \iff 0 \leq k …①は k \in \left \{ 1, 2, 3, \dots \right \} について常に真となる。このとき、

\text{（左辺）} = \left \lfloor \frac{kn}{k + 1} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{k}{k + 1} \right \rfloor.

式 k / (k + 1) について考える。すべての k について、①式より、

0 \leq \frac{k}{k + 1} \lt 1.

床函数の定義より明らかに

\left \lfloor \frac{k}{k + 1} \right \rfloor = 0 = \text{（右辺）}.

以上より、n = 1 のときに確かに成り立つ。

[2]: n = 2 のとき

（書きかけ）