ストリング図で学ぶ圏論の基礎の演習問題を解いてみます。
(1) \implies (2) について
F_x: C(x, a) \owns g \longmapsto fg \in C(x, b) とする。
f は同型なので、 f の逆射 f^{-1} が存在する。
\tilde{F}_x: C(x, b) \owns h \longmapsto f^{-1}h \in C(x, a) とする。
\begin{aligned}
\tilde{F}_x \circ F_x(g) &= \tilde{F}_x(F_x(g)) \\
&= \tilde{F}_x(fg) \\
&= f^{-1}fg \\
&= g
\end{aligned}
が成り立つ。同様に
\begin{aligned}
F_x \circ \tilde{F}_x(h) &= F_x(\tilde{F}_x(h)) \\
&= F_x(f^{-1}h) \\
&= f(f^{-1}h) \\
&= h
\end{aligned}
が成り立つ。よって、 F_x と \tilde{F}_x は互いに逆射である。
よって、 F_x は可逆である。
(2) \implies (1) について
F_x: C(x, a) \owns g \longmapsto fg \in C(x, b) とすると、仮定より F_x は可逆である。
F_x の逆射を F_x^{-1} とする。
f が同型射であることを示すために、 f の逆射 f^{-1} が存在することを示す。
g = F_b^{-1}(1_b) \in C(b, a) とすると、
\begin{aligned}
fg &= F_b(F_b^{-1}(1_b)) \\
&= 1_b
\end{aligned}
が成り立つ。また、 gf \in C(a, a) となるので、 F_a: C(a, a) \owns gf \longmapsto fgf \in C(a, b) を考えることができる。
\begin{aligned}
F_a(gf) &= fgf \\
&= (fg)f \\
&= 1_b f \\
&= f
&= F_a(1_a)
\end{aligned}
が成り立つ。よって、 gf = 1_a が成り立つ。
以上より、 f は同型である。
(1) \implies (3) について
G_x: C(b, x) \owns h \longmapsto hf \in C(a, x) とする。
f は同型なので、 f の逆射 f^{-1} が存在する。
\tilde{G}_x: C(a, x) \owns g \longmapsto gf^{-1} \in C(b, x) とする。
\begin{aligned}
\tilde{G}_x \circ G_x(h) &= \tilde{G}_x(G_x(h)) \\
&= \tilde{G}_x(hf) \\
&= hff^{-1} \\
&= h
\end{aligned}
が成り立つ。よって、 G_x と \tilde{G}_x は互いに逆射である。
よって、 G_x は可逆である。
(3) \implies (1) について
G_x: C(b, x) \owns h \longmapsto hf \in C(a, x) とすると、仮定より G_x は可逆である。
G_x の逆射を G_x^{-1} とする。
f が同型射であることを示すために、 f の逆射 f^{-1} が存在することを示す。
h = G_a^{-1}(1_a) \in C(b, a) とすると、
\begin{aligned}
hf &= G_a(h) \\
&= G_a(G_a^{-1}(1_a)) \\
&= 1_a
\end{aligned}
が成り立つ。また、 fh \in C(b, b) となるので、 G_b: C(b, b) \owns fh \longmapsto fhf \in C(a, b) を考えることができる。
\begin{aligned}
G_b(fh) &= fhf \\
&= f(hf) \\
&= f 1_a \\
&= f
&= G_b(1_b)
\end{aligned}
が成り立つ。よって、 fh = 1_b が成り立つ。
以上より、 f は同型である。
結論
以上より、(1), (2), (3) はすべて同値である。
参考文献
ストリング図で学ぶ圏論の基礎
Discussion