圏論 原著第2版の練習問題を解いてみます。
2章-9
全射 \implies エピ射
f: P \to Q を全射とする。
任意の q \in Q に対して、 f(p) = q となる p \in P が存在する。
ここで g \circ f = h \circ f とする。
任意の p \in P に対して、
となるが、f(p) = q であるから、
となる。
よって、任意の q \in Q に対して、g(q) = h(q) となるので、g = h である。
よって、f はエピ射である。
エピ射 \implies 全射
f: P \to Q をエピ射だが、全射でないとする。
すると q_0 \notin Im(f) となる q_0 \in Q が存在する。
ここで、q_0 の複製 q_1 を追加して得られる台集合 R:= (Q \cup \{ q_1 \}) を考える。
R 上の順序関係は q_1 は q_0 と同様の順序関係を持ち、 q_0 \leq q_1 とする。その他の元については Q 上の順序関係と同じとする。
2つの単調写像 g, h: Q \to R を
\begin{align*}
g(q) &= \begin{cases}
q & \text{if } q \neq q_0 \\
q_1 & \text{if } q = q_0
\end{cases} \\
h(q) &= q
\end{align*}
と定める。
このとき、g \neq h であるが、g \circ f = h \circ f となる。
これは f がエピ射であることに矛盾する。
よって、f は全射である。
以上より、半順序集合間の写像 f: P \to Q がエピ射であることと、f が全射であることは同値であることが示された。
一点半順序集合が射影的であること
一点半順序集合 1 = \{ * \} と任意のエピ射 e: E \to B と射 f: 1 \to B を考える。
一点半順序集合が射影的であるとは、 e \circ \bar{f} = f となる射 \bar{f}: 1 \to E が存在することである。
ここで、f(*) = b とする。
任意の b \in B に対して、e(p) = b となる p \in E が存在するので、\bar{f}(*) = pを対応させることができる。
よって、一点半順序集合は射影的である。
参考文献
Category Theory (Oxford Logic Guides)
圏論 原著第2版
Discussion