圏論 原著第2版の練習問題を解いてみます。
2章-7
ある対象 P が射影的であるとする。
射影的対象の定義より、任意のエピ射 e: E \to X と射 f: P \to X に対して、e \circ \bar{f} = f となる射 \bar{f}: P \to E が存在する。
ある対象 A が P の引き込みであるとする。
つまり、r \circ i = 1_A となる射 i: A \to P と射 r: P \to A が存在する。
ここで、任意のエピ射 e: E \to X と射 g: A \to X を考える。
さらに
を考える。
P は射影的対象であるから、e \circ \bar{h} = g \circ r となる射 \bar{h}: P \to E が存在する。
ここで、引き込み i: A \to P を使い、 \bar{g}: A \to E を
\bar{g} = \bar{h} \circ i
とする。
このとき、
e \circ \bar{g} = e \circ (\bar{h} \circ i) = (e \circ \bar{h}) \circ i = (g \circ r) \circ i = g \circ (r \circ i) = g \circ 1_A = g
よって、A は射影的である。
参考文献
Category Theory (Oxford Logic Guides)
圏論 原著第2版
Discussion