圏論 原著第2版の練習問題を解いてみます。
2章-5
(a) \implies (b), (c), (d) \\
(b) \implies (a) \\
(c) \implies (a) \\
(d) \implies (a)
をそれぞれ示す。
(a) \implies (b), (c), (d)
同型射 f には逆射が存在する。それを g とする。
f \circ g = id_B より、f は分裂エピ射である。
g \circ f = id_A より、f は分裂モノ射である。
また、同型射はモノ射かつエピ射である。
よって、(a) \implies (b), (c), (d) が成り立つ。
(b) \implies (a)
(b) より、f はモノ射で、f \circ s = id_B を満たす s が存在する。
ここで
f = id_B \circ f \\
= (f \circ s) \circ f \\
= f \circ (s \circ f)
となるが、f はモノ射であるから左消去が可能で s \circ f = id_A が成り立つ。
よって、s は f の逆射である。
よって、(b) \implies (a) が成り立つ。
(c) \implies (a)
(c) より、f はエピ射で、t \circ f = id_A を満たす t が存在する。
ここで
f = f \circ id_A \\
= f \circ (t \circ f) \\
= (t \circ f) \circ f
となるが、f はエピ射であるから右消去が可能で t \circ f = id_B が成り立つ。
よって、t は f の逆射である。
よって、(c) \implies (a) が成り立つ。
(d) \implies (a)
(d) より、f は分裂エピ射かつ分裂モノ射である。
つまり、f \circ s = id_B かつ t \circ f = id_A を満たす s, t が存在する。
ここで
s = id_A \circ s \\
= (t \circ f) \circ s \\
= t \circ (f \circ s) \\
= t \circ id_B \\
= t
であり、s = t は f の逆射である。
よって、(d) \implies (a) が成り立つ。
以上より、
(a) \iff (b) \iff (c) \iff (d)
が成り立つ。
参考文献
Category Theory (Oxford Logic Guides)
圏論 原著第2版
Discussion