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圏論 原著第2版の練習問題を解いてみる(2章-4)

2025/02/18に公開
圏論
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圏論 原著第2版の練習問題を解いてみます。

2章-4(a)

f および g が同型のとき、 h = g \circ f も同型である

f および g が同型射であるとき、それぞれの逆射 f^{-1} および g^{-1} が存在する。

ここで、h^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} とすると、

h \circ h^{-1} = (g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) = g \circ (f \circ f^{-1}) \circ g^{-1} = g \circ id \circ g^{-1} = g \circ g^{-1} = id

同様に、

h^{-1} \circ h = (f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) = f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g) \circ f = f^{-1} \circ id \circ f = f^{-1} \circ f = id

よって、h は同型射である。

f および g がモノ射のとき、 h = g \circ f もモノ射である

2つの射 a, b について、h \circ a = h \circ b が成り立つとする。

h \circ a = h \circ b \implies g \circ f \circ a = g \circ f \circ b

であり、g がモノ射であることから、f \circ a = f \circ b が成り立つ。

また、f がモノ射であることから、a = b が成り立つ。

よって、h はモノ射である。

f および g がエピ射のとき、 h = g \circ f もエピ射である

2つの射 a, b について、a \circ h = b \circ h が成り立つとする。

a \circ h = b \circ h \implies a \circ (g \circ f) = b \circ (g \circ f) \implies (a \circ g) \circ f = (b \circ g) \circ f

であり、f がエピ射であることから、a \circ g = b \circ g が成り立つ。

また、g がエピ射であることから、a = b が成り立つ。

よって、h はエピ射である。

2章-4(b)

h = g \circ f がモノ射のとき、f はモノ射である

2つの射 a, b について、f \circ a = f \circ b が成り立つとする。

f \circ a = f \circ b \implies g \circ f \circ a = g \circ f \circ b \implies h \circ a = h \circ b

であり、h がモノ射であることから、a = b が成り立つ。

よって、f はモノ射である。

2章-4(c)

h = g \circ f がエピ射のとき、g はエピ射である

2つの射 a, b について、a \circ g = b \circ g が成り立つとする。

a \circ g = b \circ g \implies a \circ g \circ f = b \circ g \circ f \implies a \circ h = b \circ h

であり、h がエピ射であることから、a = b が成り立つ。

よって、g はエピ射である。

2章-4(d)

h はモノ射でも、g がモノ射ではない例

集合の圏 \text{Sets} において：

  • A = \{1\}

  • B = \{1,2\}

  • C = \{1\}

  • f: A \to B を f(1) = 1 と定義（この f は単射）。

  • g: B \to C を g(1) = 1, \; g(2) = 1 と定義（この g は明らかに単射ではない）。

このとき、合成

h = g \circ f: A \to C

は h(1) = g(f(1)) = g(1) = 1 となり、定義域 A の要素が 1 つであるため h は単射（すなわちモノ射）である。しかし g は g(1) = g(2) となっており、単射ではない。

参考文献

Category Theory (Oxford Logic Guides)
圏論 原著第2版

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