圏論 原著第2版の練習問題を解いてみる(1章-8)

圏論 原著第2版の練習問題を解いてみます。

学習中の身のため、解答は必ずしも正しいとは限りません…！

1章-8

関手 $PP$ によって作られる前順序 $P(C)P(\text{C})$ の定義

圏 $C\text{C}$ から 関手 $PP$ によって作られる前順序 $P(C)P(\text{C})$ を定義する。

$P(C)P(\text{C})$ の対象は、圏 $C\text{C}$ の対象である。

$P(C)P(\text{C})$ の射は、関係 $A≤B ⟺ A→BA \leq B \iff A \to B$ である。

関手 $PP$ の確認

恒等射の保存

$1A:A→A1_A: A \to A$ は $A≤AA \leq A$ を満たすため、恒等射の保存が成り立つ。

射の合成の保存

$f:A→Bf: A \to B$ と $g:B→Cg: B \to C$ に対して、

$$P(g)∘P(f)=(A≤B∧B≤C)=(A≤C)=P(g∘f) \begin{aligned} P(g) \circ P(f) &= (A \leq B \land B \leq C) \\ &= (A \leq C) \\ &= P(g \circ f) \end{aligned}$$

であるため、射の合成の保存が成り立つ。

前順序から圏への包含関手の定義

前順序 $Pre\text{Pre}$ から圏 $J(Pre)J(\text{Pre})$ への包含関手 $JJ$ を定義する。

$J(Pre)J(\text{Pre})$ の対象は、前順序 $Pre\text{Pre}$ の対象である。

$J(Pre)J(\text{Pre})$ の射は、 $A→B ⟺ A≤BA \to B \iff A \leq B$ である。

$P∘J=1PreP \circ J = 1_{\text{Pre}}$ の確認

$P∘JP \circ J$ は、前順序 $Pre\text{Pre}$ の対象を全く同じ対象に写し、関係を全く同じ関係に写す。
よって、$P∘J=1PreP \circ J = 1_{\text{Pre}}$ が成り立つ。

そのため、$PP$ は $JJ$ の逆関手である。

参考文献

Category Theory (Oxford Logic Guides)
圏論 原著第2版