圏論 原著第2版の練習問題を解いてみます。
1章-8
関手 P によって作られる前順序 P(\text{C}) の定義
圏 \text{C} から 関手 P によって作られる前順序 P(\text{C}) を定義する。
P(\text{C}) の対象は、圏 \text{C} の対象である。
P(\text{C}) の射は、関係 A \leq B \iff A \to B である。
関手 P の確認
恒等射の保存
1_A: A \to A は A \leq A を満たすため、恒等射の保存が成り立つ。
射の合成の保存
f: A \to B と g: B \to C に対して、
\begin{aligned}
P(g) \circ P(f) &= (A \leq B \land B \leq C) \\
&= (A \leq C) \\
&= P(g \circ f)
\end{aligned}
であるため、射の合成の保存が成り立つ。
前順序から圏への包含関手の定義
前順序 \text{Pre} から圏 J(\text{Pre}) への包含関手 J を定義する。
J(\text{Pre}) の対象は、前順序 \text{Pre} の対象である。
J(\text{Pre}) の射は、 A \to B \iff A \leq B である。
P \circ J = 1_{\text{Pre}} の確認
P \circ J は、前順序 \text{Pre} の対象を全く同じ対象に写し、関係を全く同じ関係に写す。
よって、P \circ J = 1_{\text{Pre}} が成り立つ。
そのため、P は J の逆関手である。
参考文献
Category Theory (Oxford Logic Guides)
圏論 原著第2版
Discussion