圏論 原著第2版の練習問題を解いてみます。
1章-7
関手 F が同型かどうかの確認
F(f: X \to 2) = (f^{-1}(a), f^{-1}(b)) となる関手 F: \text{Sets}/2 \to \text{Sets} \times \text{Sets} が同型かどうかを確認する。
関手 F の確認
射への作用:
F(h: (X \to 2) \to (Y \to 2)) = (h|_{f^{-1}(a)}, h|_{f^{-1}(b)})
関手 F^{-1} の定義
関手 F^{-1}: \text{Sets} \times \text{Sets} \to \text{Sets}/2 を以下のように定義する。
対象への作用:
(A, B) \in \text{Sets} \times \text{Sets} に対して、集合 X = A \cup B と射 f: X \to 2 を用いて、以下のように定義する:
f(x) =
\begin{cases}
a & \text{if } x \in A \\
b & \text{if } x \in B
\end{cases} \\
F^{-1}(A, B) = f
射への作用:
(h_A, h_B): (A_1, B_1) \to (A_2, B_2) に対して、集合 X_1 = A_1 \cup B_1 と集合 X_2 = A_2 \cup B_2 と関数 h: X_1 \to X_2 を用いて、以下のように定義する:
h(x) =
\begin{cases}
h_A(x) & \text{if } x \in A_1 \\
h_B(x) & \text{if } x \in B_1
\end{cases} \\
F^{-1}(h_A, h_B) = h
F^{-1} が F の逆射であることの確認
F \circ F^{-1} = \text{id} の確認
対象 A, B \in \text{Sets} に対して、以下のように確認する:
F(F^{-1}(A, B)) = F(f) = (f^{-1}(a), f^{-1}(b)) = (A, B)
射 (h_A, h_B): (A_1, B_1) \to (A_2, B_2) に対して、以下のように確認する:
\begin{aligned}
F(F^{-1}(h_A, h_B)) &= F(h) \\
&= (h|_{f^{-1}(a)}, h|_{f^{-1}(b)}) \\
&= (h|_{A_1}, h|_{B_1}) \\
&= (h_A, h_B)
\end{aligned}
よって、 F \circ F^{-1} = \text{id} が成り立つ。
F^{-1} \circ F = \text{id} の確認
対象 f: X \to 2 に対して、以下のように確認する:
F^{-1}(F(f)) = F^{-1}(f^{-1}(a), f^{-1}(b)) = F^{-1}(A, B) = f
射 h: (X \to 2) \to (Y \to 2) に対して、以下のように確認する:
\begin{aligned}
F^{-1}(F(h)) &= F^{-1}((h|_{f^{-1}(a)}, h|_{f^{-1}(b)})) \\
&= F^{-1}(h_A, h_B) \\
&= h
\end{aligned}
よって、 F^{-1} \circ F = \text{id} が成り立つ。
関手 G: \text{Sets}/1 \to \text{Sets} の場合
関手 G: \text{Sets}/1 \to \text{Sets} を以下のように定義する。
対象への作用:
射への作用:
G(h: (X \to 1) \to (Y \to 1)) = X \to Y
この場合、 G は同型である。
参考文献
Category Theory (Oxford Logic Guides)
圏論 原著第2版
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