圏論 原著第2版の練習問題を解いてみます。
1章-6
余スライス圏 C/\text{C} が (\text{C}^\text{op}/C)^\text{op} で表せることを示す。
余スライス圏 C/\text{C} の定義
余スライス圏 C/\text{C} の対象は、圏 \text{C} においてドメインが固定された射 f: C \to X である。
射は f: C \to X と g: C \to Y に対して、 h \circ f = g を満たす h: X \to Y である。
圏 (\text{C}^\text{op}/C)^\text{op} の定義
まず、圏 \text{C}^\text{op}/C を考える。
この圏の対象は、圏 \text{C}^\text{op} においてコドメインが固定された射 f^\text{op}: X \to C である。
射は f^\text{op}: X \to C と g^\text{op}: Y \to C に対して、 f^\text{op} \circ h^\text{op} = g^\text{op} を満たす h^\text{op}: Y \to X である。
圏 (\text{C}^\text{op}/C)^\text{op} の対象と射
圏 (\text{C}^\text{op}/C)^\text{op} の対象は、圏 \text{C}^\text{op} においてコドメインが固定された射 f^\text{op}: X \to C であるが、余スライス圏 C/\text{C} の対象の、圏 \text{C} においてドメインが固定された射 f: C \to X と対応する。
圏 (\text{C}^\text{op}/C)^\text{op} の射は f^\text{op}: X \to C と g^\text{op}: Y \to C に対して、 f^\text{op} \circ h^\text{op} = g^\text{op} を満たす h^\text{op}: Y \to X を逆にした h: X \to Y である。これは余スライス圏 C/\text{C} の射と対応する。
参考文献
Category Theory (Oxford Logic Guides)
圏論 原著第2版
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