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圏論 原著第2版の練習問題を解いてみる(1章-5)

2025/01/18に公開

圏論 原著第2版の練習問題を解いてみます。

1章-5

関手 U: \text{C}/C \to \text{C} の定義

関手 U: \text{C}/C \to \text{C} を以下のように定義する。

対象への作用:

U(f: X \to C) = X

射への作用:

U(h: (f: X \to C) \to (g: Y \to C)) = h

ただし、 fh はそれぞれスライス圏 \text{C}/C の対象と射である。

関手 F: \text{C}/C \to \text{C}^\to の定義

関手 F: \text{C}/C \to \text{C}^\to を以下のように定義する。

対象への作用:

F(f: X \to C) = f

射への作用:

F(h: (f: X \to C) \to (g: Y \to C)) = (h, \text{id}_C)

ただし、 fh はそれぞれスライス圏 \text{C}/C の対象と射であり、 g: Y \to Cf = g \circ h を満たす。

\text{dom} \circ F = U の確認

対象について:

\text{dom} \circ F(f: X \to C) = \text{dom}(f) = X = U(f: X \to C)

射について:

\text{dom} \circ F(h: (X \to C) \to (Y \to C)) = \text{dom}((h, \text{id}_C)) = h = U(h: (X \to C) \to (Y \to C))

よって、 \text{dom} \circ F = U が成り立つ。

参考文献

Category Theory (Oxford Logic Guides)
圏論 原著第2版

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