圏論 原著第2版の練習問題を解いてみます。
1章-5
関手 U: \text{C}/C \to \text{C} の定義
関手 U: \text{C}/C \to \text{C} を以下のように定義する。
対象への作用:
射への作用:
U(h: (f: X \to C) \to (g: Y \to C)) = h
ただし、 f と h はそれぞれスライス圏 \text{C}/C の対象と射である。
関手 F: \text{C}/C \to \text{C}^\to の定義
関手 F: \text{C}/C \to \text{C}^\to を以下のように定義する。
対象への作用:
射への作用:
F(h: (f: X \to C) \to (g: Y \to C)) = (h, \text{id}_C)
ただし、 f と h はそれぞれスライス圏 \text{C}/C の対象と射であり、 g: Y \to C は f = g \circ h を満たす。
関手 \text{dom}: \text{C}^\to \to \text{C} の定義
関手 \text{dom}: \text{C}^\to \to \text{C} は、圏 \text{C}^\to における射の可換正方形の始域部分に作用する。
\begin{array}{ccc}
A & \xrightarrow{g_1} & A' \\
\downarrow{f} & & \downarrow{f'} \\
B & \xrightarrow{g_2} & B'
\end{array}
即ち、上記の可換正方形において、 \text{C}^\to の射 g = (g_1, g_2) 内の g_1 に関する部分を取り出す関手である。
よって、対象について:
\text{dom}(f: A \to B) = A
射について:
\text{dom}((g_1, g_2)) = g_1
となる。
\text{dom} \circ F = U の確認
対象について:
\text{dom} \circ F(f: X \to C) = \text{dom}(f) = X = U(f: X \to C)
射について:
\text{dom} \circ F(h: (X \to C) \to (Y \to C)) = \text{dom}((h, \text{id}_C)) = h = U(h: (X \to C) \to (Y \to C))
よって、 \text{dom} \circ F = U が成り立つ。
参考文献
Category Theory (Oxford Logic Guides)
圏論 原著第2版
Discussion