圏論 原著第2版の練習問題を解いてみます。
1章-2(a)
\text{Rel} \cong \text{Rel}^{\text{op}} は成り立つ。
各対象はそのままに、射 R \subseteq X \times Y を R^T \subseteq Y \times X に移す関手 F を考えると、F は可逆であるため、同型である。
1章-2(b)
\text{Sets} \cong \text{Sets}^{\text{op}} は成り立たない。
圏同型は Hom-集合の大きさも保存する必要がある。
しかし \mathrm{Hom}_{\text{Sets}}(1,X) と \mathrm{Hom}_{\text{Sets}}(X,1) で大きさが一般に異なるため（前者は |X|、後者は常に 1）、同型関手の構成は不可能。
1章-2(c)
P(X) \cong P(X)^{\text{op}} は成り立つ。
補集合写像 C(A) = X \setminus A を P(X) \to P(X)^{\text{op}} に対応させる関手と考えると、これは可逆であるため、同型である。
参考文献
Category Theory (Oxford Logic Guides)
圏論 原著第2版
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