圏論 原著第2版の練習問題を解いてみます。
1章-13
\text{\=C} の構成
スモール圏 \text{C} に対して、ケイリー表現を用いて \text{\=C} を構成する。
対象:
全てのC \in \text{C} に対して、
\=C = \{ f \in \text{C} \mid \text{cod}(f) = C \}
射:
\text{C} の射 g: C \to D に対して、
であり、\=C の任意の射 f: X \to C に対して、 \=g(f) = g \circ f である。
\text{\=C} が 圏であることの確認
結合性の確認:
任意の f : X \to C, g : C \to D, h : D \to E に対して、次の計算を行う
\=h \circ \=g(f) = \=h(\=g(f)) = \=h(g \circ f) = h \circ (g \circ f)
\overline{h \circ g}(f) = (h \circ g) \circ f
\text{C} の射の結合は結合律を満たすため、
\=h \circ \=g = \overline{h \circ g}
とできる。
ここで \text{\=C} の射 \=g: \=C \to \=D, \=h: \=D \to \=E, \=i: \=E \to \=F に対して、
\begin{aligned}
(\=i \circ \=h) \circ \=g &= \overline{i \circ h} \circ \=g \\
&= \overline{(i \circ h) \circ g} \\
&= \overline{i \circ (h \circ g)} \\
&= \=i \circ \overline{h \circ g} \\
&= \=i \circ (\=h \circ \=g)
\end{aligned}
とできるため、 \text{\=C} における射の結合性が成り立つ。
恒等射の確認
\text{\=C} の射 \=g: \=C \to \=D に対して、
\=g \circ \overline{1_C} = \overline{g \circ 1_C} = \=g
\overline{1_D} \circ \=g = \overline{1_D \circ g} = \=g
とできるため、 \overline{1_C} = 1_{\=C}, \overline{1_D} = 1_{\=D} であり、 \text{\=C} における射の恒等射が成り立つ。
\text{\=C} が \text{C} と同型であることの確認
このようにして得られた \text{\=C} が \text{C} と同型であることを示す。
F: \text{C} \to \text{\=C} を
F(C) = \=C, \quad F(g) = \=g
と定義する。
F(1_C) = \overline{1_C} = 1_{\=C}
F(g \circ h) = \overline{g \circ h} = \=g \circ \=h
とできるため、 F は関手である。
また G: \text{\=C} \to \text{C} を
G(\=C) = C, \quad G(\=g) = g
と定義する。
G(1_{\=C}) = G(\overline{1_C}) = 1_C
G(\=g \circ \=h) = G(\overline{g \circ h}) = g \circ h
とできるため、 G は関手である。
F, Gの定義より、 F \circ G = 1_{\text{\=C}}, G \circ F = 1_C であるため、 \text{\=C} は \text{C} と同型である。
参考文献
Category Theory (Oxford Logic Guides)
圏論 原著第2版
Discussion