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圏論 原著第2版の練習問題を解いてみる(1章-13)

2025/01/19に公開

圏論 原著第2版の練習問題を解いてみます。

1章-13

\text{\=C} の構成

スモール圏 \text{C} に対して、ケイリー表現を用いて \text{\=C} を構成する。

対象:

全てのC \in \text{C} に対して、

\=C = \{ f \in \text{C} \mid \text{cod}(f) = C \}

射:

\text{C} の射 g: C \to D に対して、

\=g: \=C \to \=D

であり、\=C の任意の射 f: X \to C に対して、 \=g(f) = g \circ f である。

\text{\=C} が 圏であることの確認

結合性の確認:

任意の f : X \to C, g : C \to D, h : D \to E に対して、次の計算を行う

\=h \circ \=g(f) = \=h(\=g(f)) = \=h(g \circ f) = h \circ (g \circ f)
\overline{h \circ g}(f) = (h \circ g) \circ f

\text{C} の射の結合は結合律を満たすため、

\=h \circ \=g = \overline{h \circ g}

とできる。

ここで \text{\=C} の射 \=g: \=C \to \=D, \=h: \=D \to \=E, \=i: \=E \to \=F に対して、

\begin{aligned} (\=i \circ \=h) \circ \=g &= \overline{i \circ h} \circ \=g \\ &= \overline{(i \circ h) \circ g} \\ &= \overline{i \circ (h \circ g)} \\ &= \=i \circ \overline{h \circ g} \\ &= \=i \circ (\=h \circ \=g) \end{aligned}

とできるため、 \text{\=C} における射の結合性が成り立つ。

恒等射の確認

\text{\=C} の射 \=g: \=C \to \=D に対して、

\=g \circ \overline{1_C} = \overline{g \circ 1_C} = \=g
\overline{1_D} \circ \=g = \overline{1_D \circ g} = \=g

とできるため、 \overline{1_C} = 1_{\=C}, \overline{1_D} = 1_{\=D} であり、 \text{\=C} における射の恒等射が成り立つ。

\text{\=C}\text{C} と同型であることの確認

このようにして得られた \text{\=C}\text{C} と同型であることを示す。

F: \text{C} \to \text{\=C}

F(C) = \=C, \quad F(g) = \=g

と定義する。

F(1_C) = \overline{1_C} = 1_{\=C}
F(g \circ h) = \overline{g \circ h} = \=g \circ \=h

とできるため、 F は関手である。

また G: \text{\=C} \to \text{C}

G(\=C) = C, \quad G(\=g) = g

と定義する。

G(1_{\=C}) = G(\overline{1_C}) = 1_C
G(\=g \circ \=h) = G(\overline{g \circ h}) = g \circ h

とできるため、 G は関手である。

F, Gの定義より、 F \circ G = 1_{\text{\=C}}, G \circ F = 1_C であるため、 \text{\=C}\text{C} と同型である。

参考文献

Category Theory (Oxford Logic Guides)
圏論 原著第2版

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