圏論 原著第2版の練習問題を解いてみます。
1章-12
i の定義
i: G \to U(C(G)) は、 G の頂点 v に対して、 i(v) = v とし、 G のエッジ e に対して、 i(e) = e と対応づける。
\=h の構築
グラフ準同型写像 h: G \to U(D) が与えられたとき、 C(G) 上の関手 \=h: C(G) \to D を以下のように構築する。
C(G) の対象 v に対して、 \=h(v) = h(v) とする。
G のエッジ e に対応する C(G) の射 e に対して、 \=h(e) = h(e) とする。
G のエッジ列 e_1 \cdots e_n に対応する C(G) の射 e_1 \cdots e_n に対して、 \=h(e_1 \cdots e_n) = h(e_1) \circ \cdots \circ h(e_n) とする。
C(G) の恒等射 1_v に対して、 \=h(1_v) = 1_{h(v)} とする。
U(\=h) \circ i = h を満たすことの確認
U(\=h) \circ i は、 G の頂点 v に対して、 U(\=h)(i(v)) = h(v) と、 G のエッジ e に対して、 U(\=h)(i(e)) = h(e) を満たす。
よって、 U(\=h) \circ i = h が成り立つ。
\=h の一意性の確認
U(g) \circ i = h を満たす 関手 g: C(G) \to D が存在すると仮定する。
仮定より、
C(G) の対象 v に対して、 g(v) = h(v) となる。
G のエッジ e に対応する C(G) の射 e に対して、 g(e) = h(e) となる。
G のエッジ列 e_1 \cdots e_n に対応する C(G) の射 e_1 \cdots e_n に対して、 g(e_1 \cdots e_n) = g(e_1) \circ \cdots \circ g(e_n) = h(e_1) \circ \cdots \circ h(e_n) となる。
C(G) の恒等射 1_v に対して、 g(1_v) = 1_{g(v)} = 1_{h(v)} となる。
以上より、 g は \=h と一致する。
よって、 \=h は一意に定まる。
参考文献
Category Theory (Oxford Logic Guides)
圏論 原著第2版
Discussion