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圏論 原著第2版の練習問題を解いてみる(1章-12)

2025/01/26に公開

圏論 原著第2版の練習問題を解いてみます。

1章-12

i の定義

i: G \to U(C(G)) は、 G の頂点 v に対して、 i(v) = v とし、 G のエッジ e に対して、 i(e) = e と対応づける。

\=h の構築

グラフ準同型写像 h: G \to U(D) が与えられたとき、 C(G) 上の関手 \=h: C(G) \to D を以下のように構築する。

C(G) の対象 v に対して、 \=h(v) = h(v) とする。

G のエッジ e に対応する C(G) の射 e に対して、 \=h(e) = h(e) とする。

G のエッジ列 e_1 \cdots e_n に対応する C(G) の射 e_1 \cdots e_n に対して、 \=h(e_1 \cdots e_n) = h(e_1) \circ \cdots \circ h(e_n) とする。

C(G) の恒等射 1_v に対して、 \=h(1_v) = 1_{h(v)} とする。

U(\=h) \circ i = h を満たすことの確認

U(\=h) \circ i は、 G の頂点 v に対して、 U(\=h)(i(v)) = h(v) と、 G のエッジ e に対して、 U(\=h)(i(e)) = h(e) を満たす。

よって、 U(\=h) \circ i = h が成り立つ。

\=h の一意性の確認

U(g) \circ i = h を満たす 関手 g: C(G) \to D が存在すると仮定する。

仮定より、

C(G) の対象 v に対して、 g(v) = h(v) となる。

G のエッジ e に対応する C(G) の射 e に対して、 g(e) = h(e) となる。

G のエッジ列 e_1 \cdots e_n に対応する C(G) の射 e_1 \cdots e_n に対して、 g(e_1 \cdots e_n) = g(e_1) \circ \cdots \circ g(e_n) = h(e_1) \circ \cdots \circ h(e_n) となる。

C(G) の恒等射 1_v に対して、 g(1_v) = 1_{g(v)} = 1_{h(v)} となる。

以上より、 g\=h と一致する。

よって、 \=h は一意に定まる。

参考文献

Category Theory (Oxford Logic Guides)
圏論 原著第2版

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