圏論 原著第2版の練習問題を解いてみます。
1章-11(b)
自由モノイドの普遍写像性を仮定すると、\text{Sets} の任意の射 f: A \to B に対して、以下のような可換図式を満たす射 M(f): M(A) \to M(B) が唯一存在する。
\begin{CD}
A @>f>> B \\
@Vi_AVV @VVi_BV \\
|M(A)| @>|M(f)|>> |M(B)|
\end{CD}
Mが関手であることの確認
恒等射について
M(1_A) = 1_{M(A)} であることを示す。
M(1_A) は 普遍写像性から、以下のような可換図式を満たす射 M(1_A): M(A) \to M(A) である。
\begin{CD}
A @>1_A>> A \\
@Vi_AVV @VVi_AV \\
|M(A)| @>|M(1_A)|>> |M(A)|
\end{CD}
また、 1_{M(A)} は M(A) の恒等射として存在する。
普遍写像性から、 M(A) \to M(A) の射は唯一存在するので、 M(1_A) = 1_{M(A)} である。
合成について
f: A \to B, g: B \to C に対して、 M(g \circ f) = M(g) \circ M(f) であることを示す。
M(g \circ f) は 普遍写像性から、以下のような可換図式を満たす射 M(g \circ f): M(A) \to M(C) である。
\begin{CD}
A @>g \circ f>> C \\
@Vi_AVV @VVi_CV \\
|M(A)| @>|M(g \circ f)|>> |M(C)|
\end{CD}
また、 M(g) \circ M(f) は 普遍写像性から、以下のような可換図式を満たす射 M(g) \circ M(f): M(A) \to M(C) である。
\begin{CD}
A @>f>> B @>g>> C \\
@Vi_AVV @VVi_BV @VVi_CV \\
|M(A)| @>|M(f)|>> |M(B)| @>|M(g)|>> |M(C)|
\end{CD}
普遍写像性から、 M(A) \to M(C) の射は唯一存在するので、 M(g \circ f) = M(g) \circ M(f) である。
参考文献
Category Theory (Oxford Logic Guides)
圏論 原著第2版
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