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圏論 原著第2版の練習問題を解いてみる(1章-11)

2025/01/19に公開

圏論 原著第2版の練習問題を解いてみます。

1章-11(b)

自由モノイドの普遍写像性を仮定すると、\text{Sets} の任意の射 f: A \to B に対して、以下のような可換図式を満たす射 M(f): M(A) \to M(B) が唯一存在する。

\begin{CD} A @>f>> B \\ @Vi_AVV @VVi_BV \\ |M(A)| @>|M(f)|>> |M(B)| \end{CD}

Mが関手であることの確認

恒等射について

M(1_A) = 1_{M(A)} であることを示す。

M(1_A) は 普遍写像性から、以下のような可換図式を満たす射 M(1_A): M(A) \to M(A) である。

\begin{CD} A @>1_A>> A \\ @Vi_AVV @VVi_AV \\ |M(A)| @>|M(1_A)|>> |M(A)| \end{CD}

また、 1_{M(A)}M(A) の恒等射として存在する。

普遍写像性から、 M(A) \to M(A) の射は唯一存在するので、 M(1_A) = 1_{M(A)} である。

合成について

f: A \to B, g: B \to C に対して、 M(g \circ f) = M(g) \circ M(f) であることを示す。

M(g \circ f) は 普遍写像性から、以下のような可換図式を満たす射 M(g \circ f): M(A) \to M(C) である。

\begin{CD} A @>g \circ f>> C \\ @Vi_AVV @VVi_CV \\ |M(A)| @>|M(g \circ f)|>> |M(C)| \end{CD}

また、 M(g) \circ M(f) は 普遍写像性から、以下のような可換図式を満たす射 M(g) \circ M(f): M(A) \to M(C) である。

\begin{CD} A @>f>> B @>g>> C \\ @Vi_AVV @VVi_BV @VVi_CV \\ |M(A)| @>|M(f)|>> |M(B)| @>|M(g)|>> |M(C)| \end{CD}

普遍写像性から、 M(A) \to M(C) の射は唯一存在するので、 M(g \circ f) = M(g) \circ M(f) である。

参考文献

Category Theory (Oxford Logic Guides)
圏論 原著第2版

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