圏論 原著第2版の練習問題を解いてみます。
1章-1(b)
以下の内容で関手 G: \text{Sets} \to \text{Rel} が存在することを示す。
恒等射の保存
G(1_A) = 1_{G(A)} を示す。
\begin{aligned}
G(1_A) &= \{ \langle a, 1_A(a) \rangle \mid a \in A \} \\
&= \{ \langle a, a \rangle \mid a \in A \} \\
&= 1_{G(A)}
\end{aligned}
射の合成の保存
G(g \circ f) = G(g) \circ G(f) を示す。
\begin{aligned}
G(g \circ f) &= \{ \langle a, (g \circ f)(a) \rangle \mid a \in A \} \\
&= \{ \langle a, g(f(a)) \rangle \mid a \in A \} \\
&= \{ \langle a, c \rangle \mid \exists b \in B(b=f(a) \And c=g(b)) \} \\
&= \{ \langle a, c \rangle \mid \exists b \in B(\langle a, b \rangle \in G(f) \And \langle b, c \rangle \in G(g)) \} \\
&= G(g) \circ G(f)
\end{aligned}
結論
以上より、関手 G: \text{Sets} \to \text{Rel} が存在することが示された。
1章-1(c)
以下の内容で関手 C: \text{Rel}^{\text{op}} \to \text{Rel} が存在することを示す。
恒等射の保存
C(1_A) = 1_{C(A)} を示す。
\begin{aligned}
C(1_A) &= C(\{ \langle a, a \rangle \mid a \in A \}) \\
&= \{ \langle a, a \rangle \mid a \in A \} \\
&= 1_{C(A)}
\end{aligned}
射の合成の保存
双対関係間の関手のため、C(S \circ R) = C(R) \circ C(S) を示す。
\begin{aligned}
C(S \circ R) &= C(\{ \langle a, c \rangle \mid \exists b \in B (\langle a, b \rangle \in R \And \langle b, c \rangle \in S) \}) \\
&= \{ \langle c, a \rangle \mid \exists b \in B (\langle a, b \rangle \in R \And \langle b, c \rangle \in S) \} \\
&= \{ \langle c, a \rangle \mid \exists b \in B (\langle b, a \rangle \in R^C \And \langle c, b \rangle \in S^C) \} \\
&= \{ \langle c, a \rangle \mid \exists b \in B (\langle c, b \rangle \in S^C \And \langle b, a \rangle \in R^C) \} \\
&= C(R) \circ C(S)
\end{aligned}
結論
以上より、恒等射の保存と射の合成の保存が成立するため、関手 C: \text{Rel}^{\text{op}} \to \text{Rel} が存在することが示された。
参考文献
Category Theory (Oxford Logic Guides)
圏論 原著第2版
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