\pi-\lambda定理の証明と応用

このスクラップではディンキンの\pi-\lambda定理の証明とその応用（特に確率論）について述べる．

\pi-\lambda定理

\Omega の集合族 \mathscr{P}, \mathscr{L} が与えられ，\mathscr{P} が \pi 系，\mathscr{L} が \lambda 系であるとする．このとき，\mathscr{P} \subset \mathscr{L} を満たせば

\sigma[\mathscr{P}] \subset \mathscr{L}

が成り立つ．

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\pi-\lambda定理の証明に以下の二つの補題を用いる．（補題の証明は別記事で順次進めていく．）

補題A

集合族 \mathscr{A} が \sigma-加法族 ⇔ \mathscr{A} は \pi 系かつ \lambda 系

補題B

\mathscr{L} を \lambda-系として，A \in \mathscr{L} とすれば

\mathscr{G} = \{ B \mid A \cap B \in \mathscr{L} \}

は \lambda-系である．

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証明

\mathscr{L}_{\min} = \delta[\mathscr{P}] とおく．\mathscr{L}_{\min} が \pi 系であることが示されれば，補題Aより \mathscr{L}_{\min} は \sigma-加法族となる．このとき，\mathscr{L}_{\min} は \mathscr{P} を含む最小の \lambda-系であり，かつ \sigma-加法族となるので，

\sigma[\mathscr{P}] \subset \mathscr{L}_{\min}

が成り立つ．さらに，\mathscr{L}_{\min} \subset \mathscr{L} より，

\sigma[\mathscr{P}] \subset \mathscr{L}

が成り立つ．したがって，\mathscr{L}_{\min} が \pi-系であることを示せば良い．

A, B \in \mathscr{P} のとき A \cap B \in \mathscr{P} であり，また仮定より \mathscr{P} \subset \mathscr{L} なので，

\forall A, B \in \mathscr{P}, \quad A \cap B \in \mathscr{L}_{\min}

ここで，A \subset \Omega として，任意に固定した B \in \mathscr{P} に対して

\mathscr{G}_B = \{ A \mid A \cap B \in \mathscr{L}_{\min} \}

という集合族を定義する．上の式より，\mathscr{P} \subset \mathscr{G}_B．さらに補題Bより，\mathscr{G}_B は \lambda-系である．

したがって，\mathscr{G}_B は \mathscr{P} を含む \lambda-系である．すなわち，

\mathscr{L}_{\min} \subset \mathscr{G}_B

ゆえに，\mathscr{L}_{\min} の任意の要素 A に対し，A \cap B \in \mathscr{L}_{\min} である：

\forall A \in \mathscr{L}_{\min}, \forall B \in \mathscr{P}, \quad A \cap B \in \mathscr{L}_{\min}

同様に，A を固定して

\mathscr{G}_A = \{ B \mid A \cap B \in \mathscr{L}_{\min} \}

と定義すると，\mathscr{G}_A も \lambda-系であり，\mathscr{L}_{\min} \subset \mathscr{G}_A なので，

\forall A, B \in \mathscr{L}_{\min}, \quad A \cap B \in \mathscr{L}_{\min}

以上より，\mathscr{L}_{\min} は \pi 系であることが示された．∎

参考文献

舟木直久：確率論，朝倉書店，2004．
吉田伸生：[新装版]ルベーグ積分入門 使うための理論と演習，日本評論社，2021