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Fibonacci 数列の一般項の公式を正確に計算する(via 2次体)

2021/03/13に公開約3,700字

こんにちは.

「Fibonacci 数列の一般項を使って計算してみた(けど,浮動小数点数の誤差により正確には求まらなかった)」というようなツイートを見かけて,この記事を思いつきました.
Fibonacci 数列について今更説明する必要はないとは思いますが,

\begin{cases} \mathrm{fib}_0 = 0, \\ \mathrm{fib}_1 = 1, \\ \mathrm{fib}_n = \mathrm{fib}_{n - 1} + \mathrm{fib}_{n - 2} & (n \geqslant 2) \end{cases}

によって定まる正整数列 \{ \mathrm{fib}_n \}_{n \geqslant 0} のことで,次のような一般項が知られています:

\mathrm{fib}_n = \frac{\varphi^n - \overline{\varphi}^n}{\sqrt{5}}.

ただし,\varphi は黄金比で,\overline{\varphi} はその共役(詳しくは後述)です:

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad \overline{\varphi} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}.

この一般項を用いて計算する場合,\sqrt{5} という無理数が含まれているので,浮動小数点数(C の double や Rust の f64)を使わなければなりませんし,これらの計算には当然誤差が生じてしまいます

……本当にそうでしょうか?

実は,代数学でよく知られた2次体というものを使えば,整数の演算だけで(!)一般項から Fibonacci 数列を計算できてしまいます.

2次体という難しそうな言葉が出てきましたが,定義は簡単で,(平方因子を持たない)整数 d \neq 0 に対して

\mathbb{Q} (\sqrt{d}) := \{ a + b \sqrt{d} \mid a, b \in \mathbb{Q} \}

という \mathbb{C} の部分集合のことです.(ここで,\mathbb{Q}\mathbb{C} はそれぞれ有理数全体の集合と複素数全体の集合を表します.)
d = -1 であれば Gauss 整数環の商体ですね.

この2次体は,その名前から推測できるように体となります:

\left( a_1 + b_1 \sqrt{d} \right) + \left( a_2 + b_2 \sqrt{d} \right) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) \sqrt{d}, \\ \left( a_1 + b_1 \sqrt{d} \right) - \left( a_2 + b_2 \sqrt{d} \right) = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2) \sqrt{d}, \\ \left( a_1 + b_1 \sqrt{d} \right) \cdot \left( a_2 + b_2 \sqrt{d} \right) = (a_1 a_2 + b_1 b_2 d) + (a_1 b_2 + a_2 b_1) \sqrt{d}, \\ \left( a + b \sqrt{d} \right)^{-1} = \frac{a - b \sqrt{d}}{a^2 - b^2 d}.

さて,2次体というのは集合としては単に二つの有理数の組 \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} で書けるので,そのように見たとき上の計算規則は

(a_1, b_1) + (a_2, b_2) = (a_1 + a_2, b_1 + b_2), \\ (a_1, b_1) - (a_2, b_2) = (a_1 - a_2, b_1 - b_2), \\ (a_1, b_1) \cdot (a_2, b_2) = (a_1 a_2 + b_1 b_2 d, a_1 b_2 + a_2 b_1), \\ (a, b)^{-1} = \left( \frac{a}{a^2 - b^2 d}, - \frac{b}{a^2 - b^2 d} \right)

となります.

ついに \sqrt{d} が消えましたね!

ここまで来れば後は簡単です.\mathbb{Q} (\sqrt{5}) という2次体の中で \varphi = (1/2, 1/2)\overline{\varphi} = (1/2, -1/2) の冪を計算して,それを \sqrt{5} = (0, 1) で割れば Fibonacci 数列が計算できます.
まだ整数同士の割り算があるので誤差が生じ得ますが,平方根を計算する必要がないのは嬉しいですね.

ただ,もう少しだけ工夫もできます.

一般に,2次体の元 x = a + b \sqrt{d} \in \mathbb{Q} (\sqrt{d}) に対して \overline{x} = a - b \sqrt{d} \in \mathbb{Q} (\sqrt{d})x共役conjugate)と呼びます.d = -1 のときはいわゆる複素共役のことです.
実は,共役を取る操作と2次体の四則演算は可換となっています:

\overline{x} + \overline{y} = \overline{x + y}, \\ \overline{x} - \overline{y} = \overline{x - y}, \\ \overline{x} \cdot \overline{y} = \overline{x \cdot y}, \\ \left( \overline{x} \right)^{-1} = \overline{x^{-1}}.

このことを使うと,もし \varphi^n = a_n + b_n \sqrt{5} が計算できれば \overline{\varphi}^n = a_n - b_n \sqrt{5} が分かるので,結局

\mathrm{fib}_n = \frac{\left( a_n + b_n \sqrt{5} \right) - \left( a_n - b_n \sqrt{5} \right)}{\sqrt{5}} = 2 b_n

となります.従って,\varphi^n さえ求まれば Fibonacci 数列の一般項も自動的に求まります

また,a_nb_n は必ず半整数となります.
そのことを確認するために,2 \varphi^n = c_n + d_n \sqrt{5} と置いてみましょう.さきほど見たように d_n = \mathrm{fib}_n なので,当然整数です.一方,\{ (c_n, d_n) \}_{n \geqslant 0} という数列は

\begin{cases} \displaystyle c_n = \frac{c_{n - 1} + 5 d_{n - 1}}{2}, \\ \displaystyle d_n = \frac{c_{n - 1} + d_{n - 1}}{2} \end{cases}

という漸化式を満たす(これは,c_n + d_n \sqrt{5} = (c_{n - 1} + d_{n - 1} \sqrt{5}) \varphi から従います)ので,特に

c_{n - 1} = 2 d_n - d_{n - 1} = 2 \mathrm{fib}_n - \mathrm{fib}_{n - 1}

も整数です.

以上のことを用いたサンプルコードがこちらです:

https://play.rust-lang.org/?version=beta&mode=debug&edition=2018&gist=625acd5173e4a9fa51d5a1045beadff9

fibonacci_add()n = 92 で overflow するのに対して,fibonacci_general()n = 90 で overflow します.おおよそ理論通りですね.

余談ですが,今回の実装ではじめて Rust の (min_)const_generics を使ってみました.ほかにも代数的な計算例に使えそうで楽しいです.
(まあ C++ でも同じことはできますが…….)

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