多変量正規分布について

多変量正規分布N(\mu, \Sigma)には3つの定義がある．

• モーメント母関数がm(\theta) = \exp(\mu^{\top} \theta + \frac{1}{2}t^{\top} \sigma t)となる分布
• 標準正規分布 N(0, I)をアフィン変換したもの．つまり，Z \sim N(0, I)に対して，X = \sigma^{1/2} Z + \muが従う分布．
  • 「多次元正規分布の式ってどうなってるの？」の疑問に丁寧に答える
• 密度関数が以下のように定義されるもの

\begin{align*} f_{\mathbf{X}}\left(x_1, \ldots, x_k\right)=\frac{\exp \left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right)}{\sqrt{(2 \pi)^k|\mathbf{\Sigma}|}} \end{align*}

https://qiita.com/yutera12/items/383847ca9f474cb05ed8