【TypeScript】1%×100回=63%らしいので、コードを書いて検証してみた

検証内容

1%は100回やっても63%しか起こらないらしいです。
具体的に言うと、1%の確率で起こる事象を100回試行したときに1回でも起こる確率は63% です。

と言っても、私のような確率素人にとっては直感的ではない話です。
ネットもChatGPTもそう言ってるので正しいのでしょうが、いまいちピンときません。
ということで、本当なのか検証するためにコードを書きます。

私は確率初心者なので、確率周りの話が正確でない可能性があります。
そのためこの記事の内容は参考程度に留めてください。

確率について入門的なところから学びたい場合は、中学や高校の数学の教科書をひっぱり出すか、ChatGPTなどお好みのAiに解説してもらいましょう。

先に結論を書くと、もちろん正しいです。
なのでこの記事は前提として正しいことを疑って検証する内容になります。

前提知識: 確率の用語集

この記事で頻繁に出てくる用語です。

• 事象(event): 試行の結果として起こりうる出来事
• 試行(experiment): ある結果を得るために行う行為や操作
• 確率(probability): ある事象が起こる可能性の度合い

また、こんな用語もあります。

• trial: 1回の試行（類義語: experimentは複数回の試行）
• occurredやsuccess: 事象が発生した

解説: 63%の計算方法

先ほど数学的には63%と言いましたが、どうやったら計算できるのか解説しておきます。
ざっくりいうとこんな感じです。

• $1回でも当たる確率=1-1回も当たらない確率$
• $1回も当たらない確率=1回の試行で当たらない確率^{試行回数}$
• $1回の試行で当たらない確率=1-1回の試行で当たる確率$
• 今回の条件の数字を代入すると$1-(1-0.01)^{100}$になる

ということで、$1-(1-0.01)^{100}=0.634...$なので約63%になります。

詳しく知りたい方は以下の記事をご覧ください。
https://carpe-di-em.jp/media/8065

検証方法

ということで、さっそく検証を始めます。
前述の内容をプログラミングで実際にやってみて、だいたい63%になれば正しいと言えます。

なお、コードはTypeScriptで書いてBunで実行します。

要件

今回やる必要があることは、主に以下の2点です。

• 1%で起こる事象を100回試行し、事象が起こったかどうか判定する
• ↑を十分な回数試行し、事象が起こった割合を求める

具体的な試行回数やパフォーマンスは決めず、雰囲気でやります。

コード

ということで、私が書いてChatGPTが監修したコードがこちらです。

interface TrialResult {
  occurred: boolean; // 事象が発生したか
  attemptNumber: number; // 何回目で発生したか（デバッグや検証用）
}

// 1%の確率の事象を最大100回まで繰り返し試行し、発生すれば即終了
function runSingleTrial(): TrialResult {
  for (let i = 0; i < 100; i++) {
    const occurred = Math.floor(Math.random() * 100) === 0;
    if (occurred) return { occurred: true, attemptNumber: i + 1 };
  }
  return { occurred: false, attemptNumber: -1 };
}

// 指定回数だけ runSingleTrial を実行し、発生率を求める
function runExperiment(trialCount: number) {
  const results = Array.from({ length: trialCount }, runSingleTrial);
  const successCount = results.filter(result => result.occurred).length;
  const probability = successCount / trialCount;
  return { probability, results };
}

const TRIALS = 100000;
const { probability } = runExperiment(TRIALS);
console.log(`発生確率: ${(probability * 100).toFixed(2)}%（試行回数: ${TRIALS}）`);

やってることはこんな感じです。

1. runSingleTrialは100回試行した結果1%で起こる事象が起こったかどうかを返す
2. runExperimentはrunSingleTrialをtrialCount引数で指定された試行回数実行する
3. runExperimentはrunSingleTrialの呼び出し結果たちの中で何回事象が起こったかを返す
4. あとはTRIALS定数で試行回数を決め、runExperimentを呼び出すだけ

なお、頭の中だけで理解しようとするとこんがらがりやすいです。
実際にTypeScript Playgroundなどで動かしてみるとわかりやすいかもしれません。

TRIALS引数を大きくしすぎると永遠にプログラムが終わらなくなり、最悪クラッシュします。
そのためこのコードを実行する際は、自分のPCに合った数値を自分で設定してください。
最初は1000くらいからはじめ、徐々に大きくすることをおすすめします。

おまけ: Scalaはいいぞ

私が密かに好きな言語であるScalaでも書いてみたので載せておきます。
やってることはTypeScriptとだいたい同じで、もちろん結果も同じです。

case class TrialResult(occurred: Boolean, attemptNumber: Int)

def randomEvent: Boolean = {
  import scala.util.Random
  Random.nextInt(100) == 1
}

def runSingleTrial: TrialResult = {
  val list = LazyList.continually(randomEvent).take(100)
  TrialResult(
    occurred = list.exists(identity),
    attemptNumber = list.indexWhere(identity)
  )
}

def runExperiment(trials: Int): Float = {
  val list = LazyList.continually(runSingleTrial).take(trials)
  list.count(_.occurred).toFloat / trials
}

val TRIALS = 100000
val probability = runExperiment(TRIALS)
println(s"確率: ${probability * 100}% (試行回数: $TRIALS 回)")

実行環境はScastieというプレイグラウンドです。

Scalaは書いていて非常に楽しかったです。
特にrunSingleTrialとrunExperimentの1行目はかなり気持ちよく実装できました。
Scalaの発展のためにも、ぜひ充実した公式ツアーを覗いてみてください。

実行方法

あとはこのコードをBunで実行するだけです。
ですが、1回だけの実行ではブレが出そうで不安なので、念の為複数回実行します。

イメージ

発生確率: xx% (試行回数: xxxxxx)
発生確率: xx% (試行回数: xxxxxx)
発生確率: xx% (試行回数: xxxxxx)
...

結果

さっそく結果を見てみます。
前述の通りに実行すると、結果はだいたい以下のようになるはずです。

確率: 63.432100000000005% (試行回数: 1000000)
確率: 63.370099999999994% (試行回数: 1000000)
確率: 63.363400000000006% (試行回数: 1000000)
確率: 63.3876% (試行回数: 1000000)
確率: 63.3809% (試行回数: 1000000)
...

63%で安定しているので、コードの実行結果は63%になります。
数学的な計算でも63%くらいになるということで、この結果はある意味想定通りです。

---

以上の検証から、「1%で起こる事象を100回試行したときに事象が起こる確率は63%になる現象は正しい」と言えます。
素人の直感的には100%と言いたくなりますが、やはり直感より数学のほうが正しかったようです。

ということで、検証はこれで終わりになります。
似た題材には他にもモンティ・ホール問題などがあるので、よければあなたも検証してみてください。

おまけ: 自然対数eとの関係性

ここから先は数学の話ですが、中学生でも読める難易度です。

さて、この記事では「1%を100回」で検証しましたが、ここまで来たら「10%を10回」や「0.1%を1000回」も気になってくるところです。
しかしこの記事のような検証では精度が不安なので、ここはおとなしく計算式で求めます。

求めたものがこちらです。

• 10%が10回で引ける確率: $0.6513\ldots$ ($1-0.9^{10}$)
• 1%が10回で引ける確率: $0.6339\ldots$ ($1 - 0.99^{100}$)
• 0.1%が1000回で引ける確率: $0.6323\ldots$ ($1 - 0.999^{1000}$)
• 0.01%が10000回で引ける確率: $0.6321\ldots$ ($1 - 0.9999^{10000}$)

計算式で求める方法

ということで、この式の作り方を解説します。

検証内容でも触れましたが、$1$%を$100$回の場合の確率は $1-(1-\frac{1}{100})^{100}=0.634$と求められます。
注目すべきは$\frac{1}{100}$で、これは試行回数$100$の逆数です。

では、$0.1$%を$1000$回、つまり$\frac{1}{1000}$の確率を$1000$回のときの確率を考えてみます。
これは結構簡単で、先ほどの式を応用すると$1-(1-\frac{1}{1000})^{1000}=0.632$くらいと計算できます。

ここまで出てきたような「$1$%を$100$回試行」や「$0.1$%を$1000$回試行」は、文字$n$を使って「$\frac{1}{n}$の確率を$n$回試行」と言い換えることができます。
そして、このような確率$p$を$n$を使って求める式はこうなります。

$$p = 1 - (1 - \frac{1}{n}) ^ n$$

$n$を増やすと$e$の〇〇に近づく

話は変わりますが、上の式の$n$を極限まで増やしたらどうなるでしょうか。
なんと、$1 - \frac{1}{e}$になります。
なお、$e$はネイピア数とか自然対数の底とかと言われる定数で、およそ$2.71828...$という無理数です。

これは何故かを知るためには、まず$e$の定義を知る必要があります。
$e$の定義はこちらです。

$$e=\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$$

そして$\frac{1}{e}$の定義では、先程の足し算が引き算になります。

$$\frac{1}{e}=\lim_{n \to \infty}(1-\frac{1}{n})^n$$

これと似たような式をどこかで見たことがないでしょうか。
そう、先ほどの$p = 1 - (1 - \frac{1}{n}) ^ n$です。$(1 - \frac{1}{n}) ^ n$が全く同じになっています。

つまり、$n$を無限としたときは以下の式が成り立ちます。

$$p = 1 - (1 - \frac{1}{n}) ^ n=1-\frac{1}{e}$$

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この式をグラフにすると、だいたいこんな感じになります。

• $x$軸: 1回の試行で事象が発生する確率（$\frac{1}{n}$）（1%のほう）
• $y$軸: それを$n$回試行したときに事象が発生する確率（63%のほう）

また、

• 赤線はさっきの式（$1-(1-\frac{1}{n})^n$）
• 青線は$1-\frac{1}{e}=0.632...$

です。

グラフの書き方について

グラフはDesmosで書きました。また、その際使った式はこちらです。

• 赤線: $f\left(n\right)=1-\left(1-n\right)^{\frac{1}{n}}\left\{0.001<n<1\right\}$
• 青線: $y=1-\frac{1}{e}$

赤線の式が少し違うのは、先程の式の$n$が試行回数だったのに対し、この式では$n$が確率になったからです。
グラフの$x$軸は試行回数ではなく確率にしたかったのでこうなりました。

と言ってもいきなり読み解くのはハードルが高いので、いくつかわかりやすい例を上げます。

• 右上$(1, 1)$: $100$%を$1$回試行したときの確率=$1$（$100$%）
• $(0.5, 0.75)$: $50$%を$2$回試行したときの確率=$0.75$
• $(0.1, 0.651...)$: $10$%を$10$回試行したときの確率=$0.651...$

そして、このグラフでは赤線と青線が $x=0$に限りなく近い場所で交わっています。
こうして見ると、$n$を極限まで大きくする（ここでは都合上$\frac{1}{n}$を大きくする）と$1-\frac{1}{e}$に近づくのがわかりやすいと思います。

終わりに

思いがけないところから$e$が出てきましたが、いろいろ学びがあって楽しかったです。
最後はChatGPTの言葉を引用して締めたいと思います。

こうした例は、プログラマやデータサイエンティスト、数学を使う人のあいだでは常識に近いです。

もっと数学をがんばろうと思いました。