実数集合の最大値

実数空間の非空な部分集合 $A \subset \R$ が与えられたとき，

\forall x \in A,\ x \leqslant a

を満たす $a \in A$ を集合 $A$ の最大値といい，

\max A = a

と表記する．この表記を使えば，

\forall x \in A,\ x \leqslant \max A.

なお，当然のことだが，

\max A \in A

が成り立つ．

実数集合の最小値

実数空間の非空な部分集合 $B \subset \R$ が与えられたとき，

\forall x \in B,\ b \leqslant x

を満たす $b \in B$ を集合 $B$ の最小値といい，

\min B = b

と表記する．この表記を使えば，

\forall x \in B,\ \min B \leqslant x.

なお，当然のことだが，

\min B \in B

が成り立つ．

ベクトル $\bm{x} \in \R^n$ について，次式が成り立つ．

\min_i x_i \leqslant x_i \leqslant \max_i x_i \quad \forall i = 1, \ldots, n.

ベクトル $\bm{x}, \bm{y} \in \R^n$ について，次式が成り立つ．

\max_i\left( x_i + y_i \right) \leqslant \max_i x_i + \max_i y_i

Proof

$\forall i, \ x_i \leqslant \max_i{x_i},\ y_i \leqslant \max_i{y_i}$ より，足し合わせると

x_i + y_i \leqslant \max_i{x_i} + \max_i{y_i} \quad \forall i = 1, \ldots, n.

さらに， $x_i + y_i \leqslant \max_i (x_i + y_i)\ \forall i$ から

\max_i (x_i + y_i) \leqslant \max_i{x_i} + \max_i{y_i}.

\min_i\left( x_i + y_i \right) \geqslant \min_i x_i + \min_i y_i

Proof

$\forall i, \min_i{x_i} \leqslant x_i,\ \min_i{y_i} \leqslant y_i$ より，足し合わせると

\min_i{x_i}+ \min_i{y_i} \leqslant x_i + y_i \quad \forall i = 1, \ldots, n.

さらに， $\min_i (x_i + y_i) \leqslant x_i + y_i\ \forall i$ から

\min_i{x_i}+ \min_i{y_i} \leqslant \min_i (x_i + y_i).

任意のベクトル $\bm{x}, \bm{y} \in \R^n$ について，

\bm{x} \gg \bm{y} \iff x_i > y_i \quad \forall i = 1, \ldots, n

であるとき，以下が成り立つ．

\bm{x} \gg \bm{y} \implies \max_i{x_i} > \max_i{y_i}

Proof

$\bm{x} \gg \bm{y} \iff x_i > y_i \ \forall i$ より

\exist i \ \text{s.t.}\ \ x_i > y_i = \max_i{y_i}.

$\forall i, \ \max_i{x_i} \geqslant x_i$ より $\max_i{x_i} \geqslant x_i > y_i = \max_i{y_i}$ ．よって， $\max_i{x_i} > \max_i{y_i}$ が成り立つ．

\bm{x} \gg \bm{y} \implies \min_i{x_i} > \min_i{y_i}

Proof

$\bm{x} \gg \bm{y} \iff x_i > y_i \ \forall i$ より

\exist i \ \text{s.t.}\ \ \min_i{x_i} = x_i > y_i.

$\forall i, \ y_i \geqslant \min_i{y_i}$ より $\min_i{x_i} = x_i > y_i \geqslant \min_i{y_i}$ ．よって， $\min_i{x_i} > \min_i{y_i}$ が成り立つ．

ベクトル $\bm{c} \in \R^n_{+}$ と $\bm{x} \in \R^n_+$ について，次式が成り立つ．

\max_i c_ix_i \leqslant \max_i c_i \max_i x_i

Proof

$\forall i, \ c_i \leqslant \max_i{c_i},\ x_i \leqslant \max_i{x_i}$ であり， $c_i \geqslant 0,\ x_i \geqslant 0\ \forall i$ なので，その積について次式が成り立つ：

c_ix_i \leqslant \max_i{c_i}\max_i{x_i} \quad \forall i = 1, \ldots, n.

よって，

\max_ic_ix_i \leqslant \max_i{c_i}\max_i{x_i}.

\min_i c_i \min_i x_i \leqslant \min_i c_ix_i

Proof

$\forall i, \ \min_i{c_i} \leqslant c_i,\ \min_i{x_i} \leqslant x_i$ であり， $c_i \geqslant 0,\ x_i \geqslant 0\ \forall i$ なので，その積について次式が成り立つ：

\min_i{c_i}\min_i{x_i} \leqslant c_ix_i \quad \forall i = 1, \ldots, n.

よって，

\min_i{c_i}\min_i{x_i} \leqslant \min_ic_ix_i.