（1） 全ての自然数 n に対して， b_n は 1 桁の整数であり， a_n は帰納的に 10 の倍数となるので， a_k + b_k = M ならば， a_k = a_1 ， b_k = b_1 である．
したがって条件より a_{n+1} = a_n = a_1，b_{n+1} = b_n = b_1 である．これを漸化式に代入して整理すると，3a_1 = 20b_1 を得る．
b_1 は 1 桁の整数なので，(a_1, b_1) = (0, 0), (20, 3), (40, 6), (60, 9) である．
このうち (a_1, b_1) = (0, 0) は，M = 0 となるので不適．よって，M = 23, 46, 69 ．
（2） 下記の表より，a_{23} + b_{23} = 1．
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
| a_n+b_n |
1 |
7 |
49 |
67 |
55 |
40 |
4 |
28 |
58 |
61 |
13 |
22 |
16 |
43 |
25 |
37 |
52 |
19 |
64 |
34 |
31 |
10 |
1 |
（3） 10 \equiv 1 \pmod 3 であるから， 10^{22} \equiv 1 \pmod 3 であり，また，フェルマーの小定理より， 10^{22} \equiv 1 \pmod {23} であるので，中国剰余定理より，
10^{22} \equiv 1 \pmod {69} \cdots ① を得る．ところで，与式を変形すると，
\displaystyle 10(a_{n+1} + b_{n+1}) = a_n + b_n + 69b_n \cdots ② が得られるので，帰納的に，
\displaystyle 10^{22}(a_{n+22} + b_{n+22}) = a_n + b_n + 69\sum_{i = 0}^{21}10^i b_{n+i} である．
a_n, b_nは整数であるから，これと
①より，
\displaystyle a_{n+22} + b_{n+22} \equiv a_n + b_n \pmod {69}が成り立つ．したがって
a_{22n + 1} + b_{22n + 1} \equiv 22^{2022} \pmod {69} \cdots ③ である．
22 \equiv 1 \pmod{3} および
22 \equiv -1 \pmod{23} より，中国剰余定理から，
22^{2022} \equiv 1 \pmod{69} 9989 \equiv 1 \pmod {22} であるので，
③より，
a_{9989} + b_{9989} \equiv 1 \pmod {69} \cdots ④
次に，a_{9989}+b_{9989} \leq 69 を示す．再び②より帰納的に，
\displaystyle 10^{n-1}(a_n + b_n) = M + 69\sum_{i = 1}^{n-1}10^{i-1} b_{i} であるから，
0 \leq b_n \leq 9 であることに注意して，
\begin{aligned}\displaystyle a_n + b_n &= \frac{M}{10^{n-1}} + 69\sum_{i = 1}^{n-1}10^{i-n} b_{i} \\ &\leq \frac{M}{10^{n-1}} + 69\sum_{i = 1}^{n-1} 10^{i-n} \cdot 9 \\ &= \frac{M}{10^{n-1}} + 69\{1-(\frac{1}{10})^{n-1}\} \\ &< \frac{M}{10^{n-1}} + 69 \end{aligned} これより，
M = 22^{2022}, n=9989 を代入して，
a_{9989}+b_{9989} < \frac{22^{2022}}{100^{4994}}+69 < 70
a_{9989}+b_{9989} は自然数であるから，
a_{9989}+b_{9989} \leq 69 である．これと
④より，
a_{9989} + b_{9989} = 1 である．したがって（
2）の表より，
a_{10000} + b_{10000} = 22 ．
\square
Discussion