【流体力学：第2回】運動量保存とオイラー方程式

【流体力学：第2回】運動量保存とオイラー方程式

前回は流体の質量保存則から 連続の式 を導きました．
今回は運動量保存則に基づいて，流体の運動を支配する オイラー方程式 を導いていきます．

1. 運動量保存則（ニュートンの運動方程式）

流体力学の基本原理は，ニュートンの運動方程式に立脚しています．
「質量 × 加速度 ＝ 外力の総和」という形です：

$$\frac{d}{dt} \int_V \rho \boldsymbol{u} dV = \int_V \rho \boldsymbol{f} dV + \int_S \boldsymbol{T} \cdot \boldsymbol{n} dS$$

ここで，

• $\boldsymbol{u}$ : 速度ベクトル
• $\rho$ : 密度
• $\boldsymbol{f}$ : 単位質量あたりの体積力（例：重力）
• $\boldsymbol{T}$ : 応力テンソル（表面力を記述する）
• $V$ : 制御体積
• $S (=\partial V)$ : その境界面

左辺は「制御体積内の運動量の時間変化率」，右辺は「体積力＋表面力」を意味します．

2. 応力テンソルの分解

流体の応力テンソル $\boldsymbol{T}$ は圧力と粘性応力に分解できます．

$$\boldsymbol{T} = - p \boldsymbol{I} + \boldsymbol{\tau}$$

ここで，

• $p$ : 圧力
• $\boldsymbol{I}$ : 単位テンソル
• $\boldsymbol{\tau}$ : 粘性応力テンソル

非粘性流体（理想流体） を仮定すると，粘性応力は無視できるため

$$\boldsymbol{T} = -p \boldsymbol{I}$$

となります．

3. オイラー方程式の導出

制御体積形式から微分形式へ移ると，

$$\rho \left( \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} + \boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u} \right) = - \nabla p + \rho \boldsymbol{f}$$

が得られます．これが オイラー方程式 です．

• 左辺：慣性項（加速度 × 質量）
• 右辺：圧力勾配による力、物体力（例：重力）

4. 重力場の場合

重力加速度 $\boldsymbol{g} = (0, 0, -g)$ を考えると，物体力は $\rho \boldsymbol{g}$ になります．したがって，

$$\rho \left( \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} + \boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u} \right) = - \nabla p + \rho \boldsymbol{g}$$

5. 非圧縮性流体におけるオイラー方程式

非圧縮性流体 ($\nabla \cdot \boldsymbol{u}=0$)の場合，オイラー方程式は

$$\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} + \boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u} = - \frac{1}{\rho} \nabla p + \boldsymbol{g}$$

と表せます．

6. まとめ

運動量保存則（ニュートンの運動方程式）を流体に適用すると オイラー方程式 が得られます．また，非粘性流体・非圧縮性の場合は，圧力と重力だけで運動が支配されます．