時系列解析　記号チートシート

時系列解析

名称	記号	意味
時系列データ	$y_{1:T}$	${y_1, ..., y_T}$
期待値	$E(x)$ $E[f(x)]$	$\int{xp(x)dx}$ $\int{f(x)p(x)dx}$
分散	$Var(x)$	$E[(x-E[x])^2]=\int{(x-E[x])^2p(x)dx}$
共分散	$Cov(x,y)$	$E{[x-E(x)][y-E(y)]}$
弱定常	$\mu_t+k =\mu_t$ $\sigma^2_t+k = \sigma^2_t$ $Cov(y_s+k, y_t+k)=Cov(y_s, y_t)$	weakly stationary
強定常	$f(y_{t_1}+k, ..., y_{t_m}+k)=f(y_{t_1},...,y_{t_m})$	Strongly stationary
自己共分散関数	$Cov(y_t, y_{t+k})=C_k$	弱定常を満たす場合tによらずラグkのみに依存する
標本自己共分散関数	$\hat{C_k}=\frac{1}{n}\sum^{n-k}_{t=1}(y_t-\bar{y})(y_{t+k}-\bar{y})$	標本集団から求めた自己共分散関数
自己相関関数	$Corr(y_t,y_{t+k})=\frac{Cov(y_t,y_{t+k})}{\sqrt{(Var(y_t)Var(y_{t_k}))}}$	k=0に対するあるkの自己共分散関数
偏自己相関関数	$\frac{Cov(y_t-\hat{y_t},y_{t-k}-\hat{y_{t-k}})}{\sqrt{(Var(y_t-\hat{y_t})Var(y_{t-k}-\hat{y_{t-k}}))}}$	k-1時点までの影響が取り除かれた自己相関
標本自己相関関数	$\hat{R_k}=\frac{\hat{C_k}}{\hat{C_0}}, k=0,1,...,n$	標本集団から求めた自己相関関数 グラフ化した図はコレログラムと呼ばれる
正規分布	$x\thicksim N(\mu, \sigma)$	xは平均\mu分散\sigmaの正規分布に従う
ホワイトノイズ	$E(\epsilon_t)=0$ $Cov(\epsilon_t, \epsilon_{t-k})=\begin{cases} \sigma^2 & (k=0) \\ 0 & (k\neq0) \end{cases}$	期待値が0であり、分散が一定であり、自己共分散が0である 未来を予測する情報がない純粋な雑音
ランダムウォーク	$y_t=y_{t-1}+\epsilon_t, \epsilon \thicksim N(0, \sigma^2)$	ホワイドノイズの累積和
ドリフト率	$y_t=\delta+y_{t-1}+\epsilon_t, \epsilon \thicksim N(0, \sigma^2)$	線形トレンドを加えたランダムウォーク

ベイズ統計

名称	記号	意味
周辺密度関数	$p(x)$	$\int p(x,y)dy$
条件付き密度関数	$p(x|y)$	$\frac{p(x,y)}{p(y)}$
ベイズの定理	$p(x|y)=\frac{p(y|x)p(x)}{p(y)}=\frac{p(y|x)p(x)}{\int p(y|x)p(x)dx}$	$p(x|y)$を事後確率、$p(y|x)$を尤度、p(x)を事前確率と呼ぶ
事後同時分布	$p(x_{1:T}|{y_{1:T}})$	全ての観測値に対する全ての状態の条件付き確率 MCMCにより計算
事後周辺分布	$p(x_t|{y_{1:t'}})$	ある区間の観測値に対する現在の状態の条件付き確率 逐次ベイズフィルタにより計算
条件付き期待値	$E[f(x)|y]$	$\int f(x)p(x|y)dx$ f(x)はxの実数値関数
条件付き平均	$E(x|y)$	$\int xp(x|y)dx$

状態空間モデル

線形・ガウス型状態空間モデル

名称	記号	意味
状態変数	$x_t$	潜在変数
観測変数	$y_t$	観測値
状態方程式 システム方程式	$x_t=f(x_{t-1}, \sigma_{w_t})$	$\sigma_{w_t}$を状態雑音,過程誤差と呼ぶ
観測方程式	$y_t=h(x_t, \sigma_{v_t})$	$\sigma_{v_t}$を観測雑音,観測誤差と呼ぶ
一期先予測	$\mu_{w_t}=E(x_t|Y_{t-1})$	条件付き期待値
予測誤差分散	$\sigma_{w_t}=Var(x_t|Y_{t-1})$	条件付き分散
一期先予測分布	$p(x_t|y_{1:t-1})$	一期前のフィルタリング分布で状態を時間発展させたもの
一期先予測尤度	$p(y_t|y_{1:t-1})$	規格化定数
フィルタ化推定量	$\mu_{w_{t|t}}=E(x_t|Y_t)$	一期先予測分布から求める
推定誤差分散	$\sigma_{w_{t|t}}=Var(x_t|Y_{t-1})$	同様
フィルタ分布	$p(x_t|y_{1:t})$	一期先予測分布を尤度で補正したもの
一期先予測誤差	$v_t=y_t-\mu_{w_t}$	イノベーション
一期先予測分散	$F_t=Var(v_t|Y_{t-1})$	イノベーションの条件付き分散
平滑化状態	$\hat{\mu_{w_t}}=E(x_t|Y_n)$	未来の観測値から状態を補正
平滑化状態分散	$\hat{\sigma_{w_t}}=Var(x_t|Y_n)$	同様
平滑化分布	$p(x_t|y_{1:T})$	知識発見に有用

一般状態空間モデル

名称	記号	意味
実効サンプル数	$N_e$	サンプル間に相関がないと想定し場合のサンプル数
chain		異なる初期値ごとのサンプリング列
thinning		サンプリング頻度
warm up		サンプル列から除外するステップの期間
粒子	$x^(n)_t$	tにおけるn個目の粒子
重み	$w^(n)_t$	tにおけるn個目の重み
補助変数列	$k=\{k_1,...,k_n\}$	補助粒子フィルタの1回目のリサンプリングのインデックス