論理・集合・写像チートシート

論理

名称	記号	意味
命題 (proposition)	$P$	$P$ である
命題の否定 (negation)	$\neg P$	$P$ ではない
論理積 (logical product)	$P \land Q$	$P$ であって、かつ $Q$ である
論理和 (logical sum)	$P \lor Q$	$P$ または $Q$ である
同値 (equivalent)	$P \equiv Q$	$P$ と $Q$ の真理値が一致する
条件命題 (conditional statement)	$P \to Q$	$P$ ならば $Q$ である
十分条件 (sufficient condition)	$P \implies Q$	$P \to Q$ が真のときの $P$
必要条件 (necessary condition)	$Q \implies P$	$P \to Q$ が真のときの $Q$
必要十分条件 (necessary sufficient condition)	$P \iff Q$	$P \implies Q \space \land \space Q \implies P$ が真である
命題関数 (propositional function)	$P(x)$	変数 $x$ に対して $P(x)$ である
全称命題 (universal proposition)	$\forall x \space P(x)$	全ての $x$ に対して $P(x)$ である
存在命題 (existential proposition)	$\exists x \space P(x)$	ある $x$ に対して $P(x)$ である

補足

• 条件命題は $P$ が $False$ の場合は $Q$ がどんな真偽であろうが真になる。
• $(P \equiv Q ) \equiv (P \iff Q)$ が成り立つ。

集合

名称	記号	意味
集合 (set)	$X=\lbrace 1,2,3 \rbrace \\ X=\lbrace x\mid P(x)\rbrace$	あるものの範囲の確定した集まり
元,要素 (element)	$x \isin X$	集合を構成するもの
空集合 (empty set)	$\emptyset$	元を $1$ つも含まない集まり
部分集合 (subset)	$A \subset B$	$A$ が $B$ に含まれる
和 (union)	$A \cup B$	$\lbrace x\mid x\isin A \space \lor \space x\isin B\rbrace$
積 (intersection)	$A \cap B$	$\lbrace x\mid x\isin A \space \land \space x\isin B\rbrace$
差 (set difference)	$A - B$	$\lbrace x \mid x\isin A \space \land \space x\notin B \rbrace$
集合族 (family of sets)	$\lbrace A_x\rbrace _{x\isin \R}$	$x$ が実数の集合列
直積集合 (cartesian product)	$A \times B$	$\lbrace (x, y) \mid x\isin A \space \land \space y \isin B \rbrace$

写像

名称	記号	意味
写像 (map)	$f\colon X \to Y \\ x \mapsto f(x)$	$X$ の任意の元 $x$ に $Y$ の元 $y$ をただ一つだけ対応させる規則 $f$ があるとき、$(X, Y, f)$ を $X$ から $Y$ への写像という
始域 (source) 定義域 (domain)	$X$	写像対象の集合
終域 (target) 値域(range)	$Y$	写像先の集合
像 (image)	$f(A) \coloneqq \\ \lbrace y \mid \exist x \isin A \space y=f(x) \rbrace$	$A \subset X \space f \colon X \to Y$ のとき $Y$ の部分集合 $f(A)$
関数 (function)	$f(x) \isin \Complex$	$f(x)$ が数値になる写像
恒等写像 (identity map)	$id_X\colon X \to X \\ x \mapsto x$	$X$ から $X$ への写像
包含写像 (inclusion map)	$l_x\colon X \hookrightarrow Y \\ x \mapsto x$	$X \subset Y$ に対して $X$ から $Y$ への写像
定値写像 (constant map)	$c\colon X \to Y \\ x \mapsto b$	集合 $X,Y$ と $Y$ の元 $b$ が与えられているとき $X$ から $Y$ への写像
制限写像 (resriction of f)	$f \mid _A \colon A \to Y \\ x \mapsto f(x)$	写像 $f\colon X \to Y$ が与えられたときに $X$ の部分集合 $A$ に対しての写像
線型写像 (linear map)	$L \colon \R^n \to \R^m \\ \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \mapsto A \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$	ある $m \times n$ 行列 $A$ で定められる $\R ^n$ から $\R ^m$ への写像
逆像 (inverse image)	$f \colon X \to Y \space B \subset Y \\ f^{-1}(B) \coloneqq \lbrace x \mid f(x) \isin B \rbrace$	$X$ の部分集合
単射 (injective)	$\forall x \space x' \isin X \\ \space (f(x) = f(x') \to x=x')$	像が重複しない
全射 (surjective)	$\forall y \isin Y \space \exist x \isin X \space y=f(x)$	像と値域が同値
全単射 (bijective)	$\text{injective} \cap \text{surjective}$	像が重複せず像と値域が同値
逆写像 (inverse of f)	$f^{-1} \colon Y \to X \\ y \mapsto x$	$f \colon X \to Y$が全単射のときの $f^{-1}$
合成関数 (composed map	$g \circ f \colon X \to W \\ x \mapsto g(f(x))$	$f \colon X \to Y,g \colon Z \to W$ が $f(X) \subset Z$ を満たすときの $g \circ f$

代数

名称	記号	意味
独立変数	$x$	自由に変えることのできる変数
従属変数	$y$	独立変数の値が決まると値が決まる変数
1変数関数	$y=f(x)$	独立変数も従属変数も1つの関数
物理量	位置、速度、温度、圧力	計測可能で、数値で表される量
階数	$y^{'''}+y=1$	最も高階の微分
定数係数	$3y+x=0$	$y$にかかる定数、微分方程式に全てあれば定数係数微分方程式
変数係数	$x^{2}y+1=0$	$y$にかかる変数、微分方程式に一つでもあれば変数係数微分方程式
正規形	$y^{n}=f(x,y,...,y^{n-1})$	最高階数の係数が1のときの微分方程式
斉次微分方程式	$y^{'''}+xy=0$	$y$以外の項を右辺に移項したときに右辺が0の微分方程式
非斉次微分方程式	$y^{'''}+xy=1$	$y$以外の項を右辺に移項したときに右辺が0ではない微分方程式
線形微分方程式	$xy^{''}=0$	$y, y^{(n)}$が1乗の場合
非線形微分方程式	$yy^{''}=0$	$y, y^{(n)}$が非線形の場合