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論理・集合・写像チートシート

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論理

名称 記号 意味
命題 (proposition) P P である
命題の否定 (negation) \neg P P ではない
論理積 (logical product) P \land Q P であって、かつ Q である
論理和 (logical sum) P \lor Q P または Q である
同値 (equivalent) P \equiv Q PQ の真理値が一致する
条件命題 (conditional statement) P \to Q P ならば Q である
十分条件 (sufficient condition) P \implies Q P \to Q が真のときの P
必要条件 (necessary condition) Q \implies P P \to Q が真のときの Q
必要十分条件 (necessary sufficient condition) P \iff Q P \implies Q \space \land \space Q \implies P が真である
命題関数 (propositional function) P(x) 変数 x に対して P(x) である
全称命題 (universal proposition) \forall x \space P(x) 全ての x に対して P(x) である
存在命題 (existential proposition) \exists x \space P(x) ある x に対して P(x) である

補足

  • 条件命題は PFalse の場合は Q がどんな真偽であろうが真になる。
  • (P \equiv Q ) \equiv (P \iff Q) が成り立つ。

集合

名称 記号 意味
集合 (set) X=\lbrace 1,2,3 \rbrace \\ X=\lbrace x\mid P(x)\rbrace あるものの範囲の確定した集まり
元,要素 (element) x \isin X 集合を構成するもの
空集合 (empty set) \emptyset 元を 1 つも含まない集まり
部分集合 (subset) A \subset B AB に含まれる
和 (union) A \cup B \lbrace x\mid x\isin A \space \lor \space x\isin B\rbrace
積 (intersection) A \cap B \lbrace x\mid x\isin A \space \land \space x\isin B\rbrace
差 (set difference) A - B \lbrace x \mid x\isin A \space \land \space x\notin B \rbrace
集合族 (family of sets) \lbrace A_x\rbrace _{x\isin \R} x が実数の集合列
直積集合 (cartesian product) A \times B \lbrace (x, y) \mid x\isin A \space \land \space y \isin B \rbrace

写像

名称 記号 意味
写像 (map) f\colon X \to Y \\ x \mapsto f(x) X の任意の元 xY の元 y をただ一つだけ対応させる規則 f があるとき、(X, Y, f)X から Y への写像という
始域 (source)
定義域 (domain)
X 写像対象の集合
終域 (target)
値域(range)
Y 写像先の集合
像 (image) f(A) \coloneqq \\ \lbrace y \mid \exist x \isin A \space y=f(x) \rbrace A \subset X \space f \colon X \to Y のとき Y の部分集合 f(A)
関数 (function) f(x) \isin \Complex f(x) が数値になる写像
恒等写像 (identity map) id_X\colon X \to X \\ x \mapsto x X から X への写像
包含写像 (inclusion map) l_x\colon X \hookrightarrow Y \\ x \mapsto x X \subset Y に対して X から Y への写像
定値写像 (constant map) c\colon X \to Y \\ x \mapsto b 集合 X,YY の元 b が与えられているとき X から Y への写像
制限写像 (resriction of f) f \mid _A \colon A \to Y \\ x \mapsto f(x) 写像 f\colon X \to Y が与えられたときに X の部分集合 A に対しての写像
線型写像 (linear map) L \colon \R^n \to \R^m \\ \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \mapsto A \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} ある m \times n 行列 A で定められる \R ^n から \R ^m への写像
逆像 (inverse image) f \colon X \to Y \space B \subset Y \\ f^{-1}(B) \coloneqq \lbrace x \mid f(x) \isin B \rbrace X の部分集合
単射 (injective) \forall x \space x' \isin X \\ \space (f(x) = f(x') \to x=x') 像が重複しない
全射 (surjective) \forall y \isin Y \space \exist x \isin X \space y=f(x) 像と値域が同値
全単射 (bijective) \text{injective} \cap \text{surjective} 像が重複せず像と値域が同値
逆写像 (inverse of f) f^{-1} \colon Y \to X \\ y \mapsto x f \colon X \to Yが全単射のときの f^{-1}
合成関数 (composed map g \circ f \colon X \to W \\ x \mapsto g(f(x)) f \colon X \to Y,g \colon Z \to Wf(X) \subset Z を満たすときの g \circ f

Discussion

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