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緑コーダーの参加記録: ABC186 D - Sum of difference

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問題

https://atcoder.jp/contests/abc186/tasks/abc186_d

解法

開く
  1. A を降順にソートする
  2. \sum_{i = 1}^{N} (N - 2i + 1) A_i を出力する

解説

そのまま計算しようとすると O(N^2) になりますが、制約は N \le 2\times10^5 なのでそのままだとTLEしてしまいます。
そこで、計算量を落とすことを考えます。

1 \le i \lt j \le N を満たす全ての (i, j) の組は \binom{N}{2} 個あり、2つの異なる要素に対しての差を計算することが求められているとわかります。
2つの異なる要素であればよいので、 A を並び替えても答えは変化しません。降順にソートすることで A_i \ge A_j となり、絶対値を外すことができます。

\sum_{i = 1}^{N-1} \sum_{j = i+1}^{N} (A_i - A_j)

計算を簡単にするために、この式を2つに分割します。
\sum_{i = 1}^{N-1} \sum_{j = i+1}^{N} A_i - \sum_{i = 1}^{N-1} \sum_{j = i+1}^{N} A_j

A_i の和や、 A_j の和はどのような形になっているでしょうか。図を描いてみます。

\sum_{i = 1}^{N-1} \sum_{j = i+1}^{N} A_i \sum_{i = 1}^{N-1} \sum_{j = i+1}^{N} A_j
A_i A_j
\sum_{i = 1}^{N} (N-i) A_i
\sum_{j = 1}^{N} (j-1) A_j

これで、 O(N) で計算することができます。
ついでに式をまとめてシンプルにしてしまいます。

\sum_{i = 1}^{N} (N-i) A_i - \sum_{j = 1}^{N} (j-1) A_j \\ = \sum_{i = 1}^{N} (N-i) A_i - \sum_{i = 1}^{N} (i-1) A_i \\ = \sum_{i = 1}^{N} (N - 2i + 1) A_i

ポイント

  • 絶対値を外す方法を考える
  • 総和の式を2次元的に考える

コード

abc186_d.rb
N = gets.to_i
A = gets.split.map(&:to_i).sort.reverse!
puts (1..N).sum { |i| (N - i * 2 + 1) * A[i-1] }

Discussion

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