上極限集合・下極限集合の弟です。
すべてをお話しします。
上極限集合・下極限集合
\begin{aligned}
A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4 \cap \cdots=B_1 \quad\qquad&\subset\qquad\quad C_1=A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4 \cup \cdots \\
\cap\quad\:\qquad&\qquad\:\quad\ \quad\cup\\
A_2 \cap A_3 \cap A_4 \cap \ldots=B_2 \quad\qquad&\subset\qquad\quad C_2=\quad \quad \ A_2 \cup A_3 \cup A_4 \cup \cdots \\
\cap\quad\:\qquad&\qquad\:\quad\ \quad\cup\\
A_3 \cap A_4 \cap \ldots=B_3 \quad\qquad&\subset\qquad\quad C_3=\quad \quad \quad \;\: \quad A_3 \cup A_4 \cup \ldots \\
\cap\quad\:\qquad&\qquad\:\quad\ \quad\cup\\
\vdots\quad\:\:\qquad&\qquad\:\:\quad\ \quad\vdots\\
\cap\quad\:\qquad&\qquad\:\quad\ \quad\cup\\
\varliminf _{n \rightarrow \infty} A_n \subset &\lim _{n \rightarrow \infty} A_n \subset \varlimsup_{n \rightarrow \infty} A_n
\end{aligned}
\quad
\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}A_nはA_nが増大列・減少列の場合にのみ存在し(というか定義され), そのとき\underset{n \rightarrow \infty}{\varliminf}A_n = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}A_n = \underset{n \rightarrow \infty}{\varlimsup}A_nになります。
以上。
補足
集合列における極限は, 増大列と減少列にのみ定義されています。上の図でいうと(B_n), (C_n)がそれぞれ増大列と減少列になります。各極限の定義は以下の通りです。
\lim_{n \to \infty} B_n := \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n\\
\lim_{n \to \infty} C_n := \bigcap_{n=1}^{\infty} C_n\\
集合列\{A_n\}は一般に増大列でも減少列でもないので極限は定義されていませんが\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k\:(=B_n), \bigcup_{k=n}^{\infty}A_k\:(=C_n)はそれぞれnに関する増大列・減少列なので極限が定義でき, それらを下極限集合・上極限集合といいます。
増大列の極限が下極限集合, 減少列の極限が上極限集合になっています。
\varliminf _{n \rightarrow \infty} A_n = \lim_{n \to \infty} B_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n = \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k\\
\varlimsup _{n \rightarrow \infty} A_n = \lim_{n \to \infty} C_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} C_n = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k
\quad
上の図からわかる通り, \omega\in\varliminf _{n \rightarrow \infty} A_nであれば\omegaは有限個のA_n以外のすべてのA_nに含まれており, \omega\in\varlimsup _{n \rightarrow \infty} A_nであれば\omegaは無限個のA_nに含まれていることになります。
Discussion