ノート:「二項分布の期待値」

https://algo-method.com/tasks/808/editorial

の解説の

$$\sum_{i=0}^{n}{i\times {}_n \mathrm{C}_i \times p^i(1-p)^{n-i}}=np$$

がよくわからなかったので考えてみました。

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$i$ が見づらいのでかわりに $k$ を使っておきます。$n$も小文字だとなんか見づらいので大文字に。

$$\sum_{k=0}^{N}{k\cdot {}_N \mathrm{C}_k \cdot p^k(1-p)^{N-k}}=Np$$

ここで

$$\begin{aligned} k\cdot {}_N \mathrm{C}_k &=k\frac{N!}{(N - k)!k!} \end{aligned}$$

について考えることにします。

$k \ne 0$ のとき

$$\begin{aligned} k\cdot {}_N \mathrm{C}_k &=k\frac{N!}{(N - k)!k!}\\ &=k \cdot \prod_{i=1}^{k}{\frac{N-k+i}{i}}\\ &=k \cdot \frac{N}{k} \cdot \prod_{i=1}^{k-1}{\frac{N-k+i}{i}}\\ &=N \cdot \prod_{i=1}^{k-1}{\frac{N-k+i}{i}}\\ &=N \cdot \frac{(N-1)!}{(N - k)!(k-1)!}\\ &=N \cdot {}_{N-1} \mathrm{C}_{k-1} \end{aligned}$$

$k=0$ のとき

$$\begin{aligned} 0\cdot {}_N \mathrm{C}_{0} &= 0\\ &={}_{N-1} \mathrm{C}_{-1} \end{aligned}$$

$k$ が負（たとえば、正の実数$x$ を用いて $-x$）のときの ${}_N \mathrm{C}_{k}$ は 「$N$個の中からマイナス$x$個を選ぶ方法は存在しない、つまり$0$通り」と考えて、$0$ であるとしています。

より厳密には、二項係数を以下のように定義しています。

$${}_n \mathrm{C}_k = \begin{cases} \displaystyle \frac{n!}{(n-k)!k!} &\text{: if } ~0 \le k \le n \\ \\ 0 &\text{: otherwise } \end{cases}$$

となるので、 $0 \le k$ において

$$k\cdot {}_N \mathrm{C}_k =N \cdot {}_{N-1} \mathrm{C}_{k-1}$$

がわかります。

ゆえに

$$\begin{aligned} \sum_{k=0}^{N}{k\cdot {}_N \mathrm{C}_k \cdot p^k(1-p)^{N-k}} &= \sum_{k=0}^{N}{N\cdot {}_{N-1} \mathrm{C}_{k-1} \cdot p^k(1-p)^{N-k}}\\ &=N \cdot \sum_{k=0}^{N}{{}_{N-1} \mathrm{C}_{k-1} \cdot p^k(1-p)^{N-k}}\\ &=N \cdot \sum_{k=0}^{N}{{}_{N-1} \mathrm{C}_{k-1} \cdot \textcolor{red}{p} \cdot p^{k-1}(1-p)^{N-k}}\\ &=N\textcolor{red}{p} \cdot \sum_{k=0}^{N}{{}_{N-1} \mathrm{C}_{k-1} \cdot p^{k-1}(1-p)^{N-k}}\\ &=Np \cdot \sum_{k=0}^{N}{{}_{N-1} \mathrm{C}_{k-1} \cdot p^{k-1}(1-p)^{N-k\textcolor{red}{-1+1}}}\\ &=Np \cdot \sum_{k=0}^{N}{{}_{N-1} \mathrm{C}_{k-1} \cdot p^{k-1}(1-p)^{(N-1)-(k-1)}}\\ \end{aligned}$$

ここで、二項係数の定義より

$$\sum_{k=0}^{N}{{}_{N} \mathrm{C}_{k} \cdot p^{k}(1-p)^{N-k}}=(p+1-p)^{N}=1^N=1$$

であったので、$0 \le n \lt x \Rightarrow {}_N \mathrm{C}_x = 0$ に注意して

$$\begin{aligned} \sum_{k=0}^{N}{k\cdot {}_N \mathrm{C}_k \cdot p^k(1-p)^{N-k}} &=Np \cdot \sum_{k=0}^{N}{{}_{N-1} \mathrm{C}_{k-1} \cdot p^{k-1}(1-p)^{(N-1)-(k-1)}}\\ &=Np \cdot \left(\sum_{k=0}^{N}{{}_{N-1} \mathrm{C}_{k-1} \cdot p^{k-1}(1-p)^{(N-1)-(k-1)}} \right)\\ &=Np \cdot \left(\sum_{k=0}^{\textcolor{red}{N-1}}{{}_{N-1} \mathrm{C}_{k-1} \cdot p^{k-1}(1-p)^{(N-1)-(k-1)}} \right)\\ &=Np \cdot (p + 1 - p)^{N-1}\\ &=Np \cdot 1^{N-1}\\ &=Np \end{aligned}$$

と変形できます。

よって

$$\sum_{k=0}^{N}{k\cdot {}_N \mathrm{C}_k \cdot p^k(1-p)^{N-k}}=Np$$

が言えました。