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ノート:「標準偏差の調整」

2021/12/18に公開

問題文の設定を言い換えると、ある $K$ が存在して

\sigma_B=\sigma_{A^*}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{(K(A_i - \overline{A}))^2}

をみたすので、この $K$ を求めたい、ということになりそうです。

ここで、

\frac{KA_1+KA_2+...}{N}=K\cdot\frac{A_1+A_2+...}{N}=K\cdot\overline{A}

より、 $A$ の各要素を $K$ 倍すれば、「A の各要素について平均値 $\overline{A}$ からの距離が $K$ 倍となるように補正」をかけたことになります。（平均値の線形性？）

ところで、「 $A$ の各要素を $K$ 倍」するという操作はばらつきを強調したデータの分散ですでにやっているので、

\sigma^2_B = K^2 \cdot \sigma^2_A

が成り立つことがわかります。

よって

K = \sqrt{\sigma^2_B / \sigma^2_A} =\sigma_B / \sigma_A

ただし、標準偏差は負の値を取らないことから、 $K$ がマイナスのケースは考えないものとして根号を取り払いました。