ノート:「発展: 球の体積を求める」

https://algo-method.com/tasks/698

問題文より球の体積は、球の半径$r$と、平面$z=k$で切断したときの断面積 $S(k)$ を用いて

$$V=\int_{-r}^{r}{S(z)dz}$$

と書けます。

ただし、偶関数と奇関数の性質から、

$$\begin{aligned} V=\int_{-r}^{r}{S(z)dz}=2\int_{0}^{r}{S(z)dz} \end{aligned}$$

となることに注意です。

あるいは、球の体積 = 球の上半部分（半球）の体積×２ となることを利用すると考えてもいいです。
こちらの方がわかりやすいかもしれません。

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平面$z=k$で切断したときの断面が円になるので、その円の半径が $\sqrt{r^2-k^2}$ になることを利用して

$$\displaystyle S(k)=(r^2-k^2)\pi$$

が成り立ちます。

よって、積分定数を$C$として、関数 $S(k)$ の原始関数 $S_{\text{p.f.}}(k)$ は次のようになります。

$$S_{\text{p.f.}}(k)=\int{S(k)dk}=\left(r^2k-\frac{1}{3}k^3\right)\pi+C$$

したがって、

$$\begin{aligned} V&=\int_{-r}^{r}{S(z)dz}\\ &=2\int_{0}^{r}{S(z)dz}\\ &=2(S_{\text{p.f.}}(r)-S_{\text{p.f.}}(0)) \end{aligned}$$

これを計算すればよさそうです。

計算の詳細

見通しが良くなるように

$$H=\int_{0}^{r}{S(z)dz}=S_{\text{p.f.}}(r)-S_{\text{p.f.}}(0)$$

とおくと、

$$\begin{aligned} H&=\left[\left(r^2\cdot r-\frac{1}{3}r^3\right)\pi+C\right]-\left[\left(r^2 \cdot 0-\frac{1}{3}\cdot 0^3\right)\pi+C\right]\\ &=\left[\left(r^2\cdot r-\frac{1}{3}r^3\right)\pi+C\right]-\left[0\cdot \pi+C\right]\\ &=\left[\left(r^2\cdot r-\frac{1}{3}r^3\right)\pi+C\right]-\left[0+C\right]\\ &=\left[\left(r^2\cdot r-\frac{1}{3}r^3\right)\pi+C\right]-C\\ &=\left(r^2\cdot r-\frac{1}{3}r^3\right)\pi\\ &=\left(r^3-\frac{1}{3}r^3\right)\pi\\ &=\left(1-\frac{1}{3}\right)r^3\pi\\ &=\frac{2}{3}r^3\pi \end{aligned}$$

よって、

$$\begin{aligned} V&=2H=2\cdot \frac{2}{3}r^3\pi\\ &=\frac{4}{3}r^3\pi \end{aligned}$$

従って

$$\therefore V=\frac{4}{3}r^3\pi$$

が言えました。