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ということで...
一般項が a_n=(n+1)^3-n^3 である、項数 N+1 の数列を考えることで \displaystyle \sum_{n=1}^{N}{n^2} の値を求めてみます。
(1) 一般項が a_n=(n+1)^3-n^3 である、項数 N+1 の数列について、前から k 項目までの総和を S_k とします。
- S_0=a_0=1^3-0^3=1=1^3
- S_1=S_0+a_1=1+(2^3-1^3)=8=2^3
- S_2=S_1+a_2=8+(3^3-2^3)=27=3^3
- ...
- S_{n}=S_{n-1}+a_n=n^3+((n+1)^3-n^3)=(n+1)^3
よって、 \displaystyle \sum_{n=0}^{N}{a_n}=(N+1)^3
(2) 一方で、 a_n=(n+1)^3-n^3=(n^3+3n^2+3n+1)-(n^3)=3n^2+3n+1 であるから
\begin{aligned}
\sum_{n=0}^{N}{a_n}&=\sum_{n=0}^{N}{(3n^2+3n+1)}\\
&=3\sum_{n=0}^{N}{n^2}+ 3\sum_{n=0}^{N}{n}+ \sum_{n=0}^{N}{1}
\end{aligned}
問題文より \displaystyle \sum_{n=0}^{N}{n}=\frac{1}{2}N(N+1)
また \displaystyle \sum_{n=0}^{N}{1}=N+1 であるから
\sum_{n=0}^{N}{a_n}=3\sum_{n=0}^{N}{n^2}+3\cdot\frac{1}{2}N(N+1)+(N+1)
ここで、(1)と(2)が等しいから
(N+1)^3=3\sum_{n=0}^{N}{n^2}+3\cdot\frac{1}{2}N(N+1)+(N+1)
整理すると
\begin{aligned}
3\sum_{n=0}^{N}{n^2}&=(N+1)^3-\frac{3}{2}N(N+1)-(N+1)\\
&=(N+1)(N+1)^2-\frac{3}{2}N(N+1)-(N+1)\\
&=\frac{1}{2}\left\{2(N+1)(N+1)^2-3N(N+1)-2(N+1)\right\}\\
&=\frac{N+1}{2}\left\{2(N+1)^2-3N-2\right\}\\
&=\frac{N+1}{2}\left\{2N^2+4N+2-3N-2\right\}\\
&=\frac{N+1}{2}\left\{2N^2+N\right\}\\
&=\frac{N(N+1)}{2}\left\{2N+1\right\}\\
&=\frac{N(N+1)(2N+1)}{2}
\end{aligned}
よって
\sum_{n=0}^{N}{n^2}=\frac{1}{6}N(N+1)(2N+1)
Discussion