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ノート:「Q2. 平均 1 回起こることが 1 回以上起こる確率」

2022/12/02に公開

https://algo-method.com/tasks/1172

ポアソン分布の分散も \lambda になるらしいです。本当かのぅ( ¯灬¯ )


いつもの V[X] = E[X^2] - E[X]^2 を使ってみます。
本文より

\begin{equation} E[X]=\lambda \end{equation}

なので、これを使って E[X^2] および E[X]^2 を計算してみましょう。


まず

\begin{equation} E[X]^2 = \lambda^2 \end{equation}

は明らかです。


面倒そうなのは E[X^2] です。
確率関数をそのままに、x だけ2乗して計算してみましょう。

E[X^2] = \sum_{x=0}^{\infty}{\left(x^2 \cdot e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}\right)}

ここで \displaystyle 0^2 \cdot e^{-\lambda}\frac{\lambda^0}{0!} = 0 なので、 x \ge 1 だけを考えればよいとわかります。

E[X^2] = \sum_{x=1}^{\infty}{\left(x^2 \cdot e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}\right)}

また、本文と同じように、分母の x! と 分子の x^2 を打ち消すことを考えます。
すると

E[X^2] = \sum_{x=1}^{\infty}{\left(x \cdot e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{(x - 1)!}\right)}

ここで、分子の \lambda を一つ外に追い出すと、分母の x とお揃いにすることができることに気づきます。

E[X^2] = \sum_{x=1}^{\infty}{\left(x \cdot e^{-\lambda} \lambda \frac{\lambda^{x - 1}}{(x - 1)!}\right)}

ところで、x と無縁の \lambda e^{-\lambda} がそろそろ邪魔なので、シグマの外に出します。

E[X^2] = \lambda e^{-\lambda} \sum_{x=1}^{\infty}{\left(x \cdot \frac{\lambda^{x - 1}}{(x - 1)!}\right)}

カッコの中をみると、なんか一つだけ x が残っていますね。
x-1 に揃えるといいことがありそうです。

x=(x-1) + 1 の要領で分割してみましょう。

\begin{aligned} E[X^2] &= \lambda e^{-\lambda} \sum_{x=1}^{\infty}{\left(x \cdot \frac{\lambda^{x - 1}}{(x - 1)!}\right)} \\ &=\lambda e^{-\lambda} \sum_{x=1}^{\infty}{\left(((x - 1) + 1) \cdot \frac{\lambda^{x - 1}}{(x - 1)!}\right)} \\ &=\lambda e^{-\lambda} \sum_{x=1}^{\infty}{\left((x - 1) \cdot \frac{\lambda^{x - 1}}{(x - 1)!} + 1 \cdot \frac{\lambda^{x - 1}}{(x - 1)!} \right)} \\ &=\lambda e^{-\lambda} \left( \sum_{x=1}^{\infty}{(x - 1) \cdot \frac{\lambda^{x - 1}}{(x - 1)!}} + \sum_{x=1}^{\infty}{\frac{\lambda^{x - 1}}{(x - 1)!}} \right) \end{aligned}

左のシグマを見ると、うれしいことに、 分母と分子の x-1 を打ち消せそうです。

あれ、でも、x の範囲をそのままにしてしまうと分母に (1-2)! が出現して、ちょっとまずいのでは...?
と思ったら、そもそも x=1 のときは \displaystyle (1 - 1) \cdot \frac{\lambda^{1 - 1}}{(1 - 1)!} = 0 となるので、x\ge2 だけ考えればOKですね。

ということで

E[X^2] =\lambda e^{-\lambda} \left( \sum_{x=2}^{\infty}{\frac{\lambda^{x - 1}}{(x - 2)!}} + \sum_{x=1}^{\infty}{\frac{\lambda^{x - 1}}{(x - 1)!}} \right)

また \lambda の右肩の数字を揃えてしまいましょう。

E[X^2] =\lambda e^{-\lambda} \left( \lambda \sum_{x=2}^{\infty}{\frac{\lambda^{x - 2}}{(x - 2)!}} + \sum_{x=1}^{\infty}{\frac{\lambda^{x - 1}}{(x - 1)!}} \right)

すると、問題文中の「アレ」が使えることに気づきます。

つまり、

a=x-1\\ b= x- 2

とおくと

E[X^2] =\lambda e^{-\lambda} \left( \lambda \sum_{b=0}^{\infty}{\frac{\lambda^{b}}{b!}} + \sum_{a=0}^{\infty}{\frac{\lambda^{a}}{a!}} \right)

となることがわかります。

ところで、ネイピア数のテイラー展開は

e^{\lambda}=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {\lambda^{n}}{n!}}

となるので、これを利用すると

E[X^2] =\lambda e^{-\lambda} \left( \lambda e^{\lambda} + e^{\lambda} \right)

展開すると e がきれいに消えて

\begin{aligned} E[X^2] &= \lambda e^{-\lambda} \cdot \lambda e^{\lambda} + \lambda e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda} \\ &= \lambda^2(e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda}) +\lambda(e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda}) \end{aligned}
\begin{equation} \therefore E[X^2] = \lambda^2 + \lambda \end{equation}

が成り立ちます。


以上 (2)(3) から

\begin{aligned} V[X] &= E[X^2] + E[X]^2 \\ &= \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 \\ &= \lambda \end{aligned}

となり

V[X] = \lambda

が正しいことが確かめられました。

Discussion

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