https://algo-method.com/tasks/1172
ポアソン分布の分散も \lambda になるらしいです。本当かのぅ( ¯灬¯ )
いつもの V[X] = E[X^2] - E[X]^2 を使ってみます。
本文より
\begin{equation}
E[X]=\lambda
\end{equation}
なので、これを使って E[X^2] および E[X]^2 を計算してみましょう。
まず
\begin{equation}
E[X]^2 = \lambda^2
\end{equation}
は明らかです。
面倒そうなのは E[X^2] です。
確率関数をそのままに、x だけ2乗して計算してみましょう。
E[X^2] = \sum_{x=0}^{\infty}{\left(x^2 \cdot e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}\right)}
ここで \displaystyle 0^2 \cdot e^{-\lambda}\frac{\lambda^0}{0!} = 0 なので、 x \ge 1 だけを考えればよいとわかります。
E[X^2] = \sum_{x=1}^{\infty}{\left(x^2 \cdot e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}\right)}
また、本文と同じように、分母の x! と 分子の x^2 を打ち消すことを考えます。
すると
E[X^2] = \sum_{x=1}^{\infty}{\left(x \cdot e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{(x - 1)!}\right)}
ここで、分子の \lambda を一つ外に追い出すと、分母の x とお揃いにすることができることに気づきます。
E[X^2] = \sum_{x=1}^{\infty}{\left(x \cdot e^{-\lambda} \lambda \frac{\lambda^{x - 1}}{(x - 1)!}\right)}
ところで、x と無縁の \lambda e^{-\lambda} がそろそろ邪魔なので、シグマの外に出します。
E[X^2] = \lambda e^{-\lambda} \sum_{x=1}^{\infty}{\left(x \cdot \frac{\lambda^{x - 1}}{(x - 1)!}\right)}
カッコの中をみると、なんか一つだけ x が残っていますね。
x-1 に揃えるといいことがありそうです。
x=(x-1) + 1 の要領で分割してみましょう。
\begin{aligned}
E[X^2] &= \lambda e^{-\lambda} \sum_{x=1}^{\infty}{\left(x \cdot \frac{\lambda^{x - 1}}{(x - 1)!}\right)} \\
&=\lambda e^{-\lambda} \sum_{x=1}^{\infty}{\left(((x - 1) + 1) \cdot \frac{\lambda^{x - 1}}{(x - 1)!}\right)} \\
&=\lambda e^{-\lambda} \sum_{x=1}^{\infty}{\left((x - 1) \cdot \frac{\lambda^{x - 1}}{(x - 1)!} + 1 \cdot \frac{\lambda^{x - 1}}{(x - 1)!} \right)} \\
&=\lambda e^{-\lambda} \left( \sum_{x=1}^{\infty}{(x - 1) \cdot \frac{\lambda^{x - 1}}{(x - 1)!}} + \sum_{x=1}^{\infty}{\frac{\lambda^{x - 1}}{(x - 1)!}} \right)
\end{aligned}
左のシグマを見ると、うれしいことに、 分母と分子の x-1 を打ち消せそうです。
あれ、でも、x の範囲をそのままにしてしまうと分母に (1-2)! が出現して、ちょっとまずいのでは...?
と思ったら、そもそも x=1 のときは \displaystyle (1 - 1) \cdot \frac{\lambda^{1 - 1}}{(1 - 1)!} = 0 となるので、x\ge2 だけ考えればOKですね。
ということで
E[X^2] =\lambda e^{-\lambda} \left( \sum_{x=2}^{\infty}{\frac{\lambda^{x - 1}}{(x - 2)!}} + \sum_{x=1}^{\infty}{\frac{\lambda^{x - 1}}{(x - 1)!}} \right)
また \lambda の右肩の数字を揃えてしまいましょう。
E[X^2] =\lambda e^{-\lambda} \left( \lambda \sum_{x=2}^{\infty}{\frac{\lambda^{x - 2}}{(x - 2)!}} + \sum_{x=1}^{\infty}{\frac{\lambda^{x - 1}}{(x - 1)!}} \right)
すると、問題文中の「アレ」が使えることに気づきます。
つまり、
とおくと
E[X^2] =\lambda e^{-\lambda} \left( \lambda \sum_{b=0}^{\infty}{\frac{\lambda^{b}}{b!}} + \sum_{a=0}^{\infty}{\frac{\lambda^{a}}{a!}} \right)
となることがわかります。
ところで、ネイピア数のテイラー展開は
e^{\lambda}=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {\lambda^{n}}{n!}}
となるので、これを利用すると
E[X^2] =\lambda e^{-\lambda} \left( \lambda e^{\lambda} + e^{\lambda} \right)
展開すると e がきれいに消えて
\begin{aligned}
E[X^2] &= \lambda e^{-\lambda} \cdot \lambda e^{\lambda} + \lambda e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda} \\
&= \lambda^2(e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda}) +\lambda(e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda})
\end{aligned}
\begin{equation}
\therefore E[X^2] = \lambda^2 + \lambda
\end{equation}
が成り立ちます。
以上 (2)(3) から
\begin{aligned}
V[X] &= E[X^2] + E[X]^2 \\
&= \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 \\
&= \lambda
\end{aligned}
となり
が正しいことが確かめられました。
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